《2025年暑假作业内蒙古教育出版社七年级数学》

13. 如图,O为直线AB上一点,且$∠BOC= 3∠AOC$,OC平分$∠AOD$.
(1)求$∠AOC$的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.

答案： 解（1）因为$∠BOC=3∠AOC$，$∠AOC+∠BOC=180^{\circ }$，
所以$∠AOC+3∠AOC=180^{\circ }$，
所以$∠AOC=45^{\circ }$．
（2）$OD⊥AB$．理由：
因为$OC$平分$∠AOD$，
所以$∠AOD=2∠AOC=2×45^{\circ }=90^{\circ }$，
所以$OD⊥AB$．

14. 如图,一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是公路AB同侧的两所学校.

(1)汽车行驶时,会对公路两旁的学校造成一定的影响,当汽车行驶到何处时,分别对两所学校影响最大？在图中标出来.
(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两所学校影响逐渐增大？哪一段影响逐渐减小？哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？

答案： 【解析】：
(1) 根据“垂线段最短”的原理，分别过点$M$、$N$作$AB$的垂线，垂足分别为$C$、$D$。当汽车行驶到$C$处时，对$M$学校影响最大；行驶到$D$处时，对$N$学校影响最大（图略，过$M$作$MC\perp AB$于$C$，过$N$作$ND\perp AB$于$D$）。
(2) 由“点到直线的距离，垂线段最短，且距离越近影响越大”可知：
汽车从$A$向$C$行驶时，离$M$学校越来越近，对$M$学校影响逐渐增大；离$N$学校越来越远，对$N$学校影响逐渐减小。
汽车从$D$向$B$行驶时，离$M$学校越来越远，对$M$学校影响逐渐减小；离$N$学校越来越近，对$N$学校影响逐渐增大。
汽车从$C$向$D$行驶时，离$M$学校越来越远，对$M$学校影响逐渐减小；离$N$学校越来越近，对$N$学校影响逐渐增大。
【答案】：
(1) 过$M$作$MC\perp AB$于$C$，过$N$作$ND\perp AB$于$D$，汽车行驶到$C$处对$M$学校影响最大，行驶到$D$处对$N$学校影响最大。
(2) 从$A$到$C$对$M$学校影响逐渐增大；从$D$到$B$对$N$学校影响逐渐增大；从$C$到$D$对$M$学校影响逐渐减小而对$N$学校影响逐渐增大。