《2025年鹏教图书精彩假期暑假篇七年级》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB的垂直平分线交AB于点M$,交$AC于点N$。
(1)若$\angle ABC = 70^{\circ}$,则$\angle MNA$的度数是______50°。
(2)连接$NB$,若$AB = 8cm$,$\triangle NBC的周长是14cm$。
①求$BC$的长；
②在直线$MN上是否存在点P$,使由点$P$,$B$,$C构成的$\triangle PBC$的周长最小？若存在,标出点$P的位置并求出$\triangle PBC$的周长最小值；若不存在,说明理由。
①解：$\because AN = BN$，$\therefore BN + CN = AN + CN = AC$。
$\because AB = AC = 8cm$，$\therefore BN + CN = 8cm$。
$\because \triangle NBC$的周长是$14cm$，$\therefore BC = 14 - 8 =$______6cm。
②解：$\because A$，$B$关于直线$MN$对称，
$\therefore$连接$AC$与$MN$的交点即为所求的$P$点，此时$P$和$N$重合。
即$\triangle BNC$的周长就是$\triangle PBC$的周长最小值，
$\therefore \triangle PBC$的周长最小值为______14cm。

答案： 解：（1）$50^\circ$
（2）①$\because AN = BN$，$\therefore BN + CN = AN + CN = AC$。
$\because AB = AC = 8cm$，$\therefore BN + CN = 8cm$。
$\because \triangle NBC$的周长是$14cm$，$\therefore BC = 14 - 8 = 6cm$。
②$\because A$，$B$关于直线$MN$对称，
$\therefore$连接$AC$与$MN$的交点即为所求的$P$点，此时$P$和$N$重合。
即$\triangle BNC$的周长就是$\triangle PBC$的周长最小值，
$\therefore \triangle PBC$的周长最小值为$14cm$。