《2025年鹏教图书精彩假期暑假篇七年级》

7. 在等腰三角形 ABC 中,$∠ABC= 90^{\circ }$,点 D 是 AC 边上的一个动点,连接 BD,点 E,F 分别在 AB,BC 上,且$DE⊥DF$,垂足为 D。
(1)如图(a),若 D 为 AC 边上的中点。
①填空：$∠C= $45°,$∠DBC= $45°。
②求证：$△BDE\cong △CDF$。
(2)如图(b),点 D 从点 C 出发,以每秒 1 个单位的速度向终点 A 运动,过点 B 作$BP// AC$,且$PB= AC= 4$,点 E 在 PD 上,设点 D 运动的时间为 t 秒$(0≤t≤4)$。在点 D 运动的过程中,图中能否出现全等三角形？若能,请直接写出 t 的值以及所对应的全等三角形的对数；若不能,请说明理由。
能，当$t=0$时，有1对；当$t=2$时，有3对；当$t=4$时，有1对。

答案：
（1）①$∠C=45^{\circ },∠DBC=45^{\circ }$；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，$∠ABC=90^{\circ }$，D为AC边上的中点，故$BD⊥AC$，
$\because ED⊥DF,\therefore ∠BDE=∠FDC$。
$\therefore ∠C=∠DBC=45^{\circ }$。$\therefore BD=DC$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\because ∠EBD=∠C,BD=CD,∠BDE=∠CDF$，
$\therefore \triangle BDE\cong \triangle CDF(ASA)$；
（2）解：如图①所示：当$t=0$时，$\triangle PBE\cong \triangle CAE$一对；
如图②所示：连接BD，当$t=2$时，$\triangle AED\cong \triangle BFD,\triangle ABD\cong \triangle CBD,\triangle BED\cong \triangle CFD$共3对；
如图③所示：当$t=4$时，$\triangle PBA\cong \triangle CAB$一对。