《2025年鹏教图书精彩假期暑假篇七年级》

7. 【初步探究】
(1)如图(a),在$\triangle ABC$中,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,$∠B= ∠EDF$。这两个相等的角会使图形中出现另一组等角。请你写出这组等角(不添加其他辅助线),并说明理由。
这组等角是：$∠BED=∠CDF$
【深入研究】
(2)如图(a),在(1)的条件下,若$∠B= ∠C$,请你再添加一个条件,使$\triangle BDE≌\triangle CFD$。先写出这个条件,再加以证明。
若添加条件：$BE=CD$；
证明：由(1)知$∠BED=∠CDF$，
$\because ∠B=∠C$，$BE=CD$，
$\therefore \triangle BDE≌\triangle CFD(ASA)$；
【变式探究】
(3)如图(b),在等边$\triangle ABC$中,点D,E分别为AB,AC边上的动点,$BD= 2AE$,连接DE,以DE为边在$\triangle ABC内作等边\triangle DEF$,连接CF,当D从点A向B运动(不运动到点B)时：
①求$∠FCE$的度数；
$∠FCE$的度数为$30^{\circ }$
②若$AC= 2,\triangle ABC$的面积为a,点M为边AC上(不与点A,C重合)的任意一点,连接FA,FM,直接写出$FA+FM$的最小值(用含a的代数式表示)。
$FA+FM$的最小值为a

答案：
解：（1）这组等角是：$∠BED=∠CDF$，理由如下：
在$\triangle BED$中，$∠BDE+∠B+∠BED=180^{\circ }$。
∵点D在边BC上，
$\therefore ∠BDE+∠EDF+∠CDF=180^{\circ }$。
$\because ∠B=∠EDF$，
$\therefore ∠BED=∠CDF$。
（2）若添加条件：$BE=CD$；
$\therefore \triangle BDE≌\triangle CFD(ASA)$；
（3）①$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠A=∠B=∠C=60^{\circ },AB=AC=BC$。
$\because \triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore DE=EF,∠DEF=60^{\circ }$，
$\therefore ∠DEF=∠A$，
据（1）可知$∠CEF=∠ADE$，
方法一：在AC上截取$CH=AE$，连接FH。如图1，
$\because BD=2AE$，
$\therefore AE+CH=2AE=BD$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AD=EH$。
在$\triangle ADE$和$\triangle HEF$中，$\because AD=EH,∠ADE=∠HEF,DE=EF$，
$\therefore \triangle ADE≌\triangle HEF(SAS)$。
$\therefore AE=FH,∠EHF=∠A=60^{\circ }$，
$\therefore FH=CH$，且$∠FHC=120^{\circ }$，
$\therefore ∠FCE=30^{\circ }$；

方法二：
过点F作$FG// BC$，交BD于点G，交AC于点H．则$∠FHE=∠BCA=60^{\circ }$，如图2，
$\therefore ∠A=∠FHE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle HEF$中，$∠A=∠FHE,DE=EF,∠ADE=∠HEF$，
$\therefore \triangle ADE≌\triangle HEF(AAS)$。
同理可得$\triangle HEF≌\triangle GFD$，
$\therefore FH=DG=AE,EH=DA,\therefore AG=AH$。
又$\because AB=AC,\therefore AB-AG=AC-AH$，
即$CH=BG$。
又$\because BD=2AE,\therefore BD=2DG,\therefore DG=BG$，
$\therefore CH=DG=FH$。
又$\because ∠FHE=60^{\circ },\therefore ∠FHC=120^{\circ },\therefore ∠FCE=30^{\circ }$；

②$FA+FM$的最小值是a。