《2025年暑假生活指导七年级山东教育出版社》

1. 某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边,而这三角形另一边上的中线分周长为$2:3$两部分,若这个三角形的周长为$30cm$,则此三角形三边长分别是( )。

A.$8cm$、$8cm$、$14cm$
B.$12cm$、$12cm$、$6cm$
C.$8cm$、$8cm$、$14cm或12cm$、$12cm$、$6cm$
D.以上答案都不对

答案： 【解析】：设三角形为$\triangle ABC$，已知一个外角平分线平行于一边，分两种情况讨论：
情况一：$\angle A$的外角平分线平行于$BC$
设$\angle A$的外角平分线为$AD$，$AD// BC$。根据平行线性质，$\angle DAB = \angle B$，$\angle DAC = \angle C$。
因为$AD$是外角平分线，所以$\angle DAB = \angle DAC$，故$\angle B = \angle C$，$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB = AC$。
情况二：中线分周长为$2:3$，周长$30cm$
设腰长为$x$，底边长为$y$，则$2x + y = 30$。
若中线在腰上（以$AB$边中线为例）：中线将$AB$分为$\frac{x}{2}$和$\frac{x}{2}$，此时两部分周长为$\frac{x}{2} + x$和$\frac{x}{2} + y$。
比例$2:3$时：$\frac{\frac{3x}{2}}{\frac{x}{2} + y} = \frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$。
解得$x = 8$，$y = 14$（$8,8,14$，满足三角形三边关系）；或$x = 12$，$y = 6$（$12,12,6$，满足三边关系）。
若中线在底边上：中线将底边分为$\frac{y}{2}$和$\frac{y}{2}$，两部分周长均为$x + \frac{y}{2}$，比例为$1:1$，不符合$2:3$，故排除。
验证选项
两种等腰三角形$8,8,14$和$12,12,6$均符合条件，对应选项C。
【答案】：C

2. 如图,$AB// CD$,直线$PQ分别交AB$、$CD于点F$、$E$,$EG是\angle FED$的平分线,交$AB于点G$。若$\angle QED = 40^{\circ}$,那么$\angle EGB$等于( )。


A.$80^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 【解析】：
因为 $PQ$ 是直线，根据直线性质可得：$\angle QED + \angle FED = 180^\circ$。
已知$\angle QED = 40^\circ$，所以$\angle FED = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$。
由于$EG$ 是 $\angle FED$ 的平分线，所以$\angle FEG = \frac{1}{2} \angle FED = \frac{1}{2} × 140^\circ = 70^\circ$。
根据平行线性质，$AB // CD$，所以$\angle EGB + \angle FEG = 180^\circ$。
因此，$\angle EGB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$。
【答案】：C.$110^\circ$

3. 如图,有一个与地面成$30^{\circ}$角的斜坡,现要在斜坡上竖一电线杆,当电线杆与斜坡所成的钝角$\alpha=$______度时,电线杆与地面垂直。

答案： 【解析】：
已知斜坡与地面成$30^{\circ}$角，即图中斜坡与地面的夹角为$30^{\circ}$。
设电线杆与斜坡所成的角为$\alpha$，电线杆与地面垂直时，电线杆与地面的夹角为$90^{\circ}$。
过电线杆与斜坡的交点作地面的垂线，此时可得到一个直角三角形，其中斜坡与地面的夹角为$30^{\circ}$，电线杆与地面的夹角为$90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在这个直角三角形中，已知一个角为$30^{\circ}$，一个角为$90^{\circ}$，那么电线杆与斜坡所成的锐角为$180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
因为要求的是电线杆与斜坡所成的钝角$\alpha$，所以$\alpha = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
【答案】：120

4. 小林同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为$2.5cm$，交叉重叠部分的圆的直径为$0.8cm$。


(1)如果$x$节链条的总长度是$ycm$，$y$与$x$之间的关系式为______。
(2)如果小林同学的自行车的链条(安装前)由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？

答案： 【解析】：
(1)每节链条长度为2.5cm，x节链条不重叠时总长度为2.5x cm。由于每相邻两节链条有一个交叉重叠部分，x节链条共有(x-1)个重叠部分，每个重叠部分的直径为0.8cm，即重叠长度为0.8cm。所以总长度y = 2.5x - 0.8(x - 1)，化简可得y = 2.5x - 0.8x + 0.8 = 1.7x + 0.8。
(2)安装前80节链条的总长度根据
(1)中关系式可得y = 1.7×80 + 0.8 = 136 + 0.8 = 136.8cm。但自行车链条安装后是环形，首尾相连会多一个重叠部分，所以安装后的总长度应减去一个重叠部分的长度，即136.8 - 0.8 = 136cm。
【答案】：
(1)y=1.7x+0.8；
(2)136cm

1. 若计算$(-2x + a)(x - 1)的结果不含x$的一次项,则$a= $______。

答案： 【解析】：首先将$(-2x + a)(x - 1)$展开，$\begin{aligned}(-2x + a)(x - 1)&=-2x \cdot x + (-2x) \cdot (-1) + a \cdot x + a \cdot (-1)\\&=-2x^2 + 2x + ax - a\\&=-2x^2 + (2 + a)x - a\end{aligned}$因为结果不含$x$的一次项，所以一次项系数$2 + a = 0$，解得$a = -2$。
【答案】：-2

2. 将一直角三角板与两边平行的纸条按如图所示放置,下列结论：①$\angle 1= \angle 2$；②$\angle 3= \angle 4$；③$\angle 2+\angle 4 = 90^{\circ}$；④$\angle 4+\angle 5 = 180^{\circ}$。其中正确结论的个数是( )。


A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：由题意知纸条两边平行，设纸条的上下两条平行线为$a$和$b$。
①∠1=∠2：$∠1$和$∠2$是直线$a// b$被三角板的一条直角边所截形成的同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠1=∠2$，结论①正确。
②∠3=∠4：$∠3$和$∠4$是直线$a// b$被三角板的斜边所截形成的内错角，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠3=∠4$，结论②正确。
③∠2+∠4=90°：直角三角板的直角为$90°$，三角板的两个锐角和为$90°$。由①知$∠2$等于三角板的一个锐角，由②知$∠4$等于三角板的另一个锐角，因此$∠2+∠4=90°$，结论③正确。
④∠4+∠5=180°：$∠4$和$∠5$是直线$a// b$被三角板的斜边所截形成的同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠4+∠5=180°$，结论④正确。
综上，四个结论均正确。
【答案】：D

3. 7张如图(1)的长为$a$,宽为$b$($a\gt b$)的小长方形纸片,按图(2)的方式不重叠地放在矩形$ABCD$内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为$S$,当$BC$的长度变化时,按照同样的放置方式,$S$始终保持不变,则$a$,$b$满足的关系式为( )。


A.$a = b$
B.$a = 3b$
C.$a = 2b$
D.$a = 4b$

答案： 【解析】：设 $ BC = x $。
观察图
(2)，左上角阴影部分是一个矩形，其宽为 $ a $，长为 $ x - 4b $（因为下方横向放置了4个宽为 $ b $ 的小长方形），面积为 $ a(x - 4b) $。
右下角阴影部分也是一个矩形，其宽为 $ 3b $（右侧纵向放置了3个宽为 $ b $ 的小长方形），长为 $ x - a $，面积为 $ 3b(x - a) $。
两阴影部分面积差 $ S = a(x - 4b) - 3b(x - a) $，化简得：
$\begin{aligned}S &= ax - 4ab - 3bx + 3ab \\&= (a - 3b)x - ab\end{aligned}$
因为 $ S $ 与 $ BC $ 的长度 $ x $ 无关，即含 $ x $ 的项系数必须为0，所以 $ a - 3b = 0 $，即 $ a = 3b $。
【答案】：B