《2025年暑假作业长江少年儿童出版社五年级数学》

3 找一些边长是$1cm$的小正方体,摆一摆。
(1)用$4$个小正方体能摆成一个大正方体吗?
(2)至少要用多少个小正方体才能摆成一个大正方体?
(3)摆一个比第(2)题中摆出的大正方体再稍大一些的正方体,至少需要多少个小正方体?
(4)摆一个比第(3)题中摆出的大正方体还稍大一些的正方体,至少需要多少个小正方体?

答案： （1）不能用4个小正方体摆成一个大正方体。
（2）至少要用8个小正方体才能摆成一个大正方体。
（3）至少需要27个小正方体。
（4）至少需要64个小正方体。
规律：如果较大正方体边长是n个单位长度（n为大于2的整数），那么所需小正方体数量就是$n^3$个。

把一个棱长为$3cm$的正方体的每个面都涂上颜色后,再切成若干个棱长为$1cm$的小正方体。
(1)如图$1$,在这些小正方体中,三面涂色的有多少个? 两面涂色的有多少个? 一面涂色的有多少个? 六面都没有涂色的有多少个?
(2)如果这个大正方体的棱长为$4cm$,其他条件不变(如图$2$),那么小正方体中, 三面涂色的有多少个? 两面涂色的有多少个? 一面涂色的有多少个? 六面都没有涂色的有多少个?

答案：
(1)
正方体有$8$个顶点，$12$条棱，$6$个面。
三面涂色的小正方体：
三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体有$8$个顶点，
所以三面涂色的小正方体有$8$个。
两面涂色的小正方体：
两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（不包括顶点处的小正方体）。
每条棱上有$3$个小正方体，去掉两个顶点处的小正方体，每条棱上有$3 - 2 = 1$（个）两面涂色的小正方体。
正方体有$12$条棱，所以两面涂色的小正方体共有$1×12 = 12$（个）。
一面涂色的小正方体：
一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分（不包括棱上和顶点处的小正方体）。
每个面上一面涂色的小正方体个数为$(3 - 2)×(3 - 2)=1×1 = 1$（个）（这里$(3 - 2)$是去掉棱上和顶点后每行（列）的小正方体个数）。
正方体有$6$个面，所以一面涂色的小正方体共有$1×6 = 6$（个）。
六面都没有涂色的小正方体：
六面都没有涂色的小正方体位于大正方体的内部。
可通过计算大正方体总体积减去表面一层小正方体体积后剩余的小正方体个数来得到。
大正方体棱长为$3cm$，切成棱长为$1cm$的小正方体，则大正方体共由$3×3×3 = 27$（个）小正方体组成。
表面一层小正方体个数为三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体个数之和，即$8 + 12 + 6 = 26$（个）。
所以六面都没有涂色的小正方体有$27-(8 + 12 + 6)=27 - 26 = 1$（个）。
综上，三面涂色的有$8$个；两面涂色的有$12$个；一面涂色的有$6$个；六面都没有涂色的有$1$个。
(2)
三面涂色的小正方体：
同样，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体有$8$个顶点，所以三面涂色的小正方体有$8$个。
两面涂色的小正方体：
两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（不包括顶点处的小正方体）。
每条棱上有$4$个小正方体，去掉两个顶点处的小正方体，每条棱上有$4 - 2 = 2$（个）两面涂色的小正方体。
正方体有$12$条棱，所以两面涂色的小正方体共有$2×12 = 24$（个）。
一面涂色的小正方体：
一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分（不包括棱上和顶点处的小正方体）。
每个面上一面涂色的小正方体个数为$(4 - 2)×(4 - 2)=2×2 = 4$（个）（这里$(4 - 2)$是去掉棱上和顶点后每行（列）的小正方体个数）。
正方体有$6$个面，所以一面涂色的小正方体共有$4×6 = 24$（个）。
六面都没有涂色的小正方体：
大正方体棱长为$4cm$，切成棱长为$1cm$的小正方体，则大正方体共由$4×4×4 = 64$（个）小正方体组成。
表面一层小正方体个数为三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体个数之和，即$8 + 24 + 24 = 56$（个）。
所以六面都没有涂色的小正方体有$64 - 56 = 8$（个）。
综上，三面涂色的有$8$个；两面涂色的有$24$个；一面涂色的有$24$个；六面都没有涂色的有$8$个。