《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

15. 如图,在矩形ABCD中,$AB=3$,$BC=4$,点E在边AD上,且$ED=3$,M,N分别是边AB,BC上的动点,且$BM=BN$,P是线段CE上的动点,连接PM,PN.若$PM+PN=4$,则线段PC的长为______$ 2\sqrt{2} $.

答案： $ 2\sqrt{2} $

16. (8分)如图,已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD上的一点,连接BE,CE,OE,且$BE=CE$.求证:$\triangle BEO\cong\triangle CEO$.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，所以$OB = OC$。
- 在$\triangle BEO$和$\triangle CEO$中，已知$BE = CE$（题目所给条件），$OB = OC$（已证），$OE = OE$（公共边）。
- 根据全等三角形判定定理中的“边边边”（$SSS$），可以得出$\triangle BEO\cong\triangle CEO$。
【答案】：
在矩形$ABCD$中，$OB = OC$（矩形对角线相等且互相平分）。
在$\triangle BEO$和$\triangle CEO$中，$\begin{cases}BE = CE\\OB = OC\\OE = OE\end{cases}$，所以$\triangle BEO\cong\triangle CEO(SSS)$。

17. (8分)如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且$AE=CF$.
(1)图中有哪几对全等三角形,请一一列举;
(2)求证:$ED// BF$.

答案：
(1)图中有三对全等三角形：
① $ \triangle ABC \cong \triangle CDA $；② $ \triangle ABF \cong \triangle CDE $；
③ $ \triangle ADE \cong \triangle CBF $。
(2)略

18. (8分)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle ADB=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle BDC$,DE交BC于点E,过点E作$EF\perp BD$,垂足为F,且$EF=EC$.
(1)求证:四边形ABED是菱形;
(2)若$AD=4$,求$\triangle BED$的面积.

答案：
(1)略
(2) $ 4\sqrt{3} $