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22. 综合与实践
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法,其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路,我们可以将更高次的方程“降次”,转化为二次方程或一次方程进行求解.
①因式分解法求解特殊的三次方程: $ x ^ { 3 } - 5 x + 2 = 0 $.
解:将 $ x ^ { 3 } - 5 x + 2 = 0 $ 变形为 $ x ^ { 3 } - ( 4 + 1 ) x + 2 = 0 $,
$ \therefore x ^ { 3 } - 4 x - x + 2 = 0 $,
$ \therefore ( x ^ { 3 } - 4 x ) - ( x - 2 ) = 0 $,
$ \therefore x ( x + 2 ) ( x - 2 ) - ( x - 2 ) = 0 $,
$ \therefore ( x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 2 x - 1 ) = 0 $,
$ \therefore x - 2 = 0 $ 或 $ x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $,
$ \therefore $ 原方程有三个根: $ x _ { 1 } = 2 $, $ x _ { 2 } = - 1 + \sqrt { 2 } $, $ x _ { 3 } = - 1 - \sqrt { 2 } $.
②换元法求解特殊的四次方程: $ x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 = 0 $.
解:设 $ x ^ { 2 } = y $,则 $ x ^ { 4 } = y ^ { 2 } $,
于是原方程可变为 $ y ^ { 2 } - 5 y + 4 = 0 $,解得 $ y _ { 1 } = 1 $, $ y _ { 2 } = 4 $,
当 $ y = 1 $ 时, $ x ^ { 2 } = 1 $, $ \therefore x = \pm 1 $;
当 $ y = 4 $ 时, $ x ^ { 2 } = 4 $, $ \therefore x = \pm 2 $,
$ \therefore $ 原方程有四个根: $ x _ { 1 } = 1 $, $ x _ { 2 } = - 1 $, $ x _ { 3 } = 2 $, $ x _ { 4 } = - 2 $.
【应用新知】(1)仿照以上方法,按照要求解方程:
①(因式分解法) $ x ^ { 3 } - 10 x + 3 = 0 $;
②(换元法) $ x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } - 4 = 0 $.
【拓展延伸】(2)已知 $ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $,且 $ x ＞ 0 $,请综合运用以上方法,通过“降次”求 $ x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } - 3 x $ 的值.
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法,其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路,我们可以将更高次的方程“降次”,转化为二次方程或一次方程进行求解.
①因式分解法求解特殊的三次方程: $ x ^ { 3 } - 5 x + 2 = 0 $.
解:将 $ x ^ { 3 } - 5 x + 2 = 0 $ 变形为 $ x ^ { 3 } - ( 4 + 1 ) x + 2 = 0 $,
$ \therefore x ^ { 3 } - 4 x - x + 2 = 0 $,
$ \therefore ( x ^ { 3 } - 4 x ) - ( x - 2 ) = 0 $,
$ \therefore x ( x + 2 ) ( x - 2 ) - ( x - 2 ) = 0 $,
$ \therefore ( x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 2 x - 1 ) = 0 $,
$ \therefore x - 2 = 0 $ 或 $ x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $,
$ \therefore $ 原方程有三个根: $ x _ { 1 } = 2 $, $ x _ { 2 } = - 1 + \sqrt { 2 } $, $ x _ { 3 } = - 1 - \sqrt { 2 } $.
②换元法求解特殊的四次方程: $ x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 = 0 $.
解:设 $ x ^ { 2 } = y $,则 $ x ^ { 4 } = y ^ { 2 } $,
于是原方程可变为 $ y ^ { 2 } - 5 y + 4 = 0 $,解得 $ y _ { 1 } = 1 $, $ y _ { 2 } = 4 $,
当 $ y = 1 $ 时, $ x ^ { 2 } = 1 $, $ \therefore x = \pm 1 $;
当 $ y = 4 $ 时, $ x ^ { 2 } = 4 $, $ \therefore x = \pm 2 $,
$ \therefore $ 原方程有四个根: $ x _ { 1 } = 1 $, $ x _ { 2 } = - 1 $, $ x _ { 3 } = 2 $, $ x _ { 4 } = - 2 $.
【应用新知】(1)仿照以上方法,按照要求解方程:
①(因式分解法) $ x ^ { 3 } - 10 x + 3 = 0 $;
②(换元法) $ x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } - 4 = 0 $.
【拓展延伸】(2)已知 $ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $,且 $ x ＞ 0 $,请综合运用以上方法,通过“降次”求 $ x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } - 3 x $ 的值.
答案：
解：
(1)①将$ x ^ { 3 } - 10 x + 3 = 0 $变形为$ x ^ { 3 } - ( 9 + 1 ) x + 3 = 0 $，
∴$ x ^ { 3 } - 9 x - x + 3 = 0 $，
∴$ x ( x + 3 ) ( x - 3 ) - ( x - 3 ) = 0 $，
∴$ ( x - 3 ) ( x ^ { 2 } + 3 x - 1 ) = 0 $，
∴$ x - 3 = 0 $或$ x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0 $，
∴原方程有三个根：$ x _ { 1 } = 3 $，$ x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 3 } = \frac { - 3 + \sqrt { 13 } } { 2 } $。
②设$ x ^ { 2 } = y $，则$ x ^ { 4 } = y ^ { 2 } $，
于是原方程可变为$ y ^ { 2 } + 3 y - 4 = 0 $，解得$ y _ { 1 } = 1 $，$ y _ { 2 } = - 4 $，因为$ x ^ { 2 } \geq 0 $，所以$ y = - 4 $舍去。
当$ y = 1 $时，$ x ^ { 2 } = 1 $，
∴$ x = \pm 1 $，
∴原方程有两个根：$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = - 1 $。
(2)$ \because x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $，
∴$ x ^ { 2 } - 2 x = 1 $，
∴$ x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } - 3 x = x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 2 x ) - 3 x = x ^ { 2 } - 3 x = x ^ { 2 } - 2 x - x = 1 - x $。
解方程$ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $，得$ x _ { 1 } = 1 + \sqrt { 2 } $，$ x _ { 2 } = 1 - \sqrt { 2 } $，
$ \because x ＞ 0 $，
∴$ x = 1 + \sqrt { 2 } $，
∴$ x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } - 3 x = 1 - x = 1 - ( 1 + \sqrt { 2 } ) = - \sqrt { 2 } $。
(1)①将$ x ^ { 3 } - 10 x + 3 = 0 $变形为$ x ^ { 3 } - ( 9 + 1 ) x + 3 = 0 $，
∴$ x ^ { 3 } - 9 x - x + 3 = 0 $，
∴$ x ( x + 3 ) ( x - 3 ) - ( x - 3 ) = 0 $，
∴$ ( x - 3 ) ( x ^ { 2 } + 3 x - 1 ) = 0 $，
∴$ x - 3 = 0 $或$ x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0 $，
∴原方程有三个根：$ x _ { 1 } = 3 $，$ x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 3 } = \frac { - 3 + \sqrt { 13 } } { 2 } $。
②设$ x ^ { 2 } = y $，则$ x ^ { 4 } = y ^ { 2 } $，
于是原方程可变为$ y ^ { 2 } + 3 y - 4 = 0 $，解得$ y _ { 1 } = 1 $，$ y _ { 2 } = - 4 $，因为$ x ^ { 2 } \geq 0 $，所以$ y = - 4 $舍去。
当$ y = 1 $时，$ x ^ { 2 } = 1 $，
∴$ x = \pm 1 $，
∴原方程有两个根：$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = - 1 $。
(2)$ \because x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $，
∴$ x ^ { 2 } - 2 x = 1 $，
∴$ x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } - 3 x = x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 2 x ) - 3 x = x ^ { 2 } - 3 x = x ^ { 2 } - 2 x - x = 1 - x $。
解方程$ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $，得$ x _ { 1 } = 1 + \sqrt { 2 } $，$ x _ { 2 } = 1 - \sqrt { 2 } $，
$ \because x ＞ 0 $，
∴$ x = 1 + \sqrt { 2 } $，
∴$ x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } - 3 x = 1 - x = 1 - ( 1 + \sqrt { 2 } ) = - \sqrt { 2 } $。
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