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23. [2024·烟台中考]如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交⊙O于点D,E是⌢BC上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;
(3)若CI=2√2,DI=13√2/2,求△ABC的周长.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;
(3)若CI=2√2,DI=13√2/2,求△ABC的周长.
答案：
解:
(1) $ \angle C E B = 115 ^ { \circ } $.
(2) $ D I = A D = B D $. 证明略.
(3) 过点 $ I $ 分别作 $ I Q \perp A B $, $ I F \perp A C $, $ I P \perp B C $, 垂足分别为点 $ Q $, $ F $, $ P $.
易知 $ A Q = A F $, $ C F = C P $, $ B Q = B P $.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle F C I $ 中, $ 2 C F ^ { 2 } = ( 2 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $, 解得 $ C F = 2 $.
$ \because D I = A D = B D = \frac { 13 \sqrt { 2 } } { 2 } $, $ \angle A D B = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore A B = \sqrt { A D ^ { 2 } + B D ^ { 2 } } = 13 $,
$ \therefore \triangle A B C $ 的周长 $ = A B + A C + B C = A B + A F + C F + C P + B P = A B + A Q + B Q + 2 C F = 2 A B + 2 C F = 30 $.
(1) $ \angle C E B = 115 ^ { \circ } $.
(2) $ D I = A D = B D $. 证明略.
(3) 过点 $ I $ 分别作 $ I Q \perp A B $, $ I F \perp A C $, $ I P \perp B C $, 垂足分别为点 $ Q $, $ F $, $ P $.
易知 $ A Q = A F $, $ C F = C P $, $ B Q = B P $.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle F C I $ 中, $ 2 C F ^ { 2 } = ( 2 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $, 解得 $ C F = 2 $.
$ \because D I = A D = B D = \frac { 13 \sqrt { 2 } } { 2 } $, $ \angle A D B = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore A B = \sqrt { A D ^ { 2 } + B D ^ { 2 } } = 13 $,
$ \therefore \triangle A B C $ 的周长 $ = A B + A C + B C = A B + A F + C F + C P + B P = A B + A Q + B Q + 2 C F = 2 A B + 2 C F = 30 $.
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