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23. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} + bx + c $ 的图象与坐标轴交于A,B,C三点,已知点 $ A(0,8) $,点 $ B(-4,0) $.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标.
(2)已知点D的坐标为 $ (0,4) $,F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD,CF,以CD,CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.求S的最大值.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标.
(2)已知点D的坐标为 $ (0,4) $,F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD,CF,以CD,CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.求S的最大值.
答案：
解：
(1) 二次函数的解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + x + 8 $；点 $ C $ 的坐标为 $ ( 8 , 0 ) $.
(2) 易得直线 $ C D $ 的函数解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4 $.
过点 $ F $ 作 $ F H \perp x $ 轴于点 $ H $，交 $ C D $ 于点 $ G $，连接 $ D F $.
设点 $ F \left( m , - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 8 \right) $，则点 $ G \left( m , - \frac { 1 } { 2 } m + 4 \right) $，
$ \therefore F G = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 8 - \left( - \frac { 1 } { 2 } m + 4 \right) = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 4 $，
$ \therefore S _ { \triangle C D F } = \frac { 1 } { 2 } O C \cdot F G = \frac { 1 } { 2 } × 8 × \left( - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 4 \right) = - ( m - 3 ) ^ { 2 } + 25 $.
$ \therefore $ 当 $ m = 3 $ 时，$ S _ { \triangle C D F } $ 有最大值 25.
$ \because $ 四边形 $ C D E F $ 为平行四边形，$ \therefore S $ 的最大值为 50.
(1) 二次函数的解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + x + 8 $；点 $ C $ 的坐标为 $ ( 8 , 0 ) $.
(2) 易得直线 $ C D $ 的函数解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4 $.
过点 $ F $ 作 $ F H \perp x $ 轴于点 $ H $，交 $ C D $ 于点 $ G $，连接 $ D F $.
设点 $ F \left( m , - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 8 \right) $，则点 $ G \left( m , - \frac { 1 } { 2 } m + 4 \right) $，
$ \therefore F G = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 8 - \left( - \frac { 1 } { 2 } m + 4 \right) = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 4 $，
$ \therefore S _ { \triangle C D F } = \frac { 1 } { 2 } O C \cdot F G = \frac { 1 } { 2 } × 8 × \left( - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 4 \right) = - ( m - 3 ) ^ { 2 } + 25 $.
$ \therefore $ 当 $ m = 3 $ 时，$ S _ { \triangle C D F } $ 有最大值 25.
$ \because $ 四边形 $ C D E F $ 为平行四边形，$ \therefore S $ 的最大值为 50.
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