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21. 将抛物线 $ y = -x^{2} + 2x $ 的对称轴向右平移1个单位长度后,与抛物线 $ y = -x^{2} + bx $ (b为常数)的对称轴重合.
(1)求b的值;
(2)当 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 2 $ 时,若点 $ A(x_{1} - 1,y_{1}) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + 2x $ 上,点 $ B(2x_{1} - 1,y_{1} + h) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + bx $ 上,求h的取值范围.
(1)求b的值;
(2)当 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 2 $ 时,若点 $ A(x_{1} - 1,y_{1}) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + 2x $ 上,点 $ B(2x_{1} - 1,y_{1} + h) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + bx $ 上,求h的取值范围.
答案：
解：
(1) $ b = 4 $.
(2) $ \because $ 点 $ A ( x _ { 1 } - 1 , y _ { 1 } ) $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x $ 上，
$ \therefore y _ { 1 } = - ( x _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } + 2 ( x _ { 1 } - 1 ) = - x _ { 1 } ^ { 2 } + 4 x _ { 1 } - 3 $.
$ \because $ 点 $ B ( 2 x _ { 1 } - 1 , y _ { 1 } + h ) $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x $ 上，且 $ b = 4 $，
$ \therefore y _ { 1 } + h = - ( 2 x _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } + 4 ( 2 x _ { 1 } - 1 ) = - 4 x _ { 1 } ^ { 2 } + 12 x _ { 1 } - 5 $，
$ \therefore h = - 3 x _ { 1 } ^ { 2 } + 8 x _ { 1 } - 2 = - 3 \left( x _ { 1 } - \frac { 4 } { 3 } \right) ^ { 2 } + \frac { 10 } { 3 } $.
$ \because 0 ＜ x _ { 1 } ＜ 2 $，$ \therefore $ 当 $ x _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 } $ 时，$ h $ 有最大值 $ \frac { 10 } { 3 } $，
当 $ x _ { 1 } = 0 $ 时，$ h $ 有最小值 $ - 2 $，
$ \therefore h $ 的取值范围为 $ - 2 ＜ h \leq \frac { 10 } { 3 } $.
(1) $ b = 4 $.
(2) $ \because $ 点 $ A ( x _ { 1 } - 1 , y _ { 1 } ) $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x $ 上，
$ \therefore y _ { 1 } = - ( x _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } + 2 ( x _ { 1 } - 1 ) = - x _ { 1 } ^ { 2 } + 4 x _ { 1 } - 3 $.
$ \because $ 点 $ B ( 2 x _ { 1 } - 1 , y _ { 1 } + h ) $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x $ 上，且 $ b = 4 $，
$ \therefore y _ { 1 } + h = - ( 2 x _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } + 4 ( 2 x _ { 1 } - 1 ) = - 4 x _ { 1 } ^ { 2 } + 12 x _ { 1 } - 5 $，
$ \therefore h = - 3 x _ { 1 } ^ { 2 } + 8 x _ { 1 } - 2 = - 3 \left( x _ { 1 } - \frac { 4 } { 3 } \right) ^ { 2 } + \frac { 10 } { 3 } $.
$ \because 0 ＜ x _ { 1 } ＜ 2 $，$ \therefore $ 当 $ x _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 } $ 时，$ h $ 有最大值 $ \frac { 10 } { 3 } $，
当 $ x _ { 1 } = 0 $ 时，$ h $ 有最小值 $ - 2 $，
$ \therefore h $ 的取值范围为 $ - 2 ＜ h \leq \frac { 10 } { 3 } $.
22. 如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门,Q为顶点,其高为6米,宽OP为12米.以O为原点,OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求出该抛物线的解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD,使点A,D在抛物线上,点B,C在OP上,求三根“光带”AB,AD,DC的长度之和的最大值.
(1)求出该抛物线的解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD,使点A,D在抛物线上,点B,C在OP上,求三根“光带”AB,AD,DC的长度之和的最大值.
答案：
解：
(1) 该抛物线的解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 6 } ( x - 6 ) ^ { 2 } + 6 = - \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + 2 x ( 0 \leq x \leq 12 ) $.
(2) 设三根“光带” $ AB $，$ AD $，$ DC $ 的长度之和为 $ L $，点 $ A \left( m , - \frac { 1 } { 6 } m ^ { 2 } + 2 m \right) ( 0 ＜ m ＜ 6 ) $.
根据抛物线的对称性，可得 $ C P = O B = m $，
$ \therefore A D = B C = 12 - 2 m $，
$ \therefore L = A B + A D + D C = 2 × \left( - \frac { 1 } { 6 } m ^ { 2 } + 2 m \right) + 12 - 2 m = - \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } + 2 m + 12 = - \frac { 1 } { 3 } ( m - 3 ) ^ { 2 } + 15 $，
$ \because - \frac { 1 } { 3 } ＜ 0 $，$ 0 ＜ m ＜ 6 $，$ \therefore $ 当 $ m = 3 $ 时，$ L $ 有最大值为 15.
答：三根“光带” $ AB $，$ AD $，$ DC $ 的长度之和的最大值为 15 米.
(1) 该抛物线的解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 6 } ( x - 6 ) ^ { 2 } + 6 = - \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + 2 x ( 0 \leq x \leq 12 ) $.
(2) 设三根“光带” $ AB $，$ AD $，$ DC $ 的长度之和为 $ L $，点 $ A \left( m , - \frac { 1 } { 6 } m ^ { 2 } + 2 m \right) ( 0 ＜ m ＜ 6 ) $.
根据抛物线的对称性，可得 $ C P = O B = m $，
$ \therefore A D = B C = 12 - 2 m $，
$ \therefore L = A B + A D + D C = 2 × \left( - \frac { 1 } { 6 } m ^ { 2 } + 2 m \right) + 12 - 2 m = - \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } + 2 m + 12 = - \frac { 1 } { 3 } ( m - 3 ) ^ { 2 } + 15 $，
$ \because - \frac { 1 } { 3 } ＜ 0 $，$ 0 ＜ m ＜ 6 $，$ \therefore $ 当 $ m = 3 $ 时，$ L $ 有最大值为 15.
答：三根“光带” $ AB $，$ AD $，$ DC $ 的长度之和的最大值为 15 米.
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