《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

23. 如图,已知抛物线$y=ax^{2}+\frac {3}{2}x+4$的对称轴是直线$x=3$,与x轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C.
(1)求线段AB的长.
(2)若M是抛物线上B,C两点之间的一个动点(不与点B,C重合),设点M的横坐标为m,过点M作$MN// y$轴,交直线BC于点N.当线段MN的长有最大值时,求点M的坐标.

答案： 解：
(1)
∵ 抛物线的对称轴是直线 $x = 3$，
∴ $-\frac{\frac{3}{2}}{2a} = 3$，解得 $a = -\frac{1}{4}$，
∴ 抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4$。
令 $y = 0$，解得 $x_{1} = -2$，$x_{2} = 8$，
∴ $A(-2, 0)$，$B(8, 0)$，
∴ $AB = 8 - (-2) = 10$。
(2) 由
(1)知抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 4$。
当 $x = 0$ 时，$y = 4$，即 $C(0, 4)$。
易知直线 $BC$ 的函数解析式为 $y = -\frac{1}{2}x + 4$，
由题意知点 $M$ 的坐标为 $(m, -\frac{1}{4}m^{2} + \frac{3}{2}m + 4)$，
点 $N$ 的坐标为 $(m, -\frac{1}{2}m + 4)$，
∴ $MN = -\frac{1}{4}m^{2} + \frac{3}{2}m + 4 - (-\frac{1}{2}m + 4) = -\frac{1}{4}m^{2} + 2m = -\frac{1}{4}(m - 4)^{2} + 4$，$0 ＜ m ＜ 8$，
∴ 当 $m = 4$ 时，线段 $MN$ 的长有最大值，
此时 $-\frac{1}{4}m^{2} + \frac{3}{2}m + 4 = 6$，
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(4, 6)$。