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18. [2024·合肥政务区期末]如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,△ABC,△DEF的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A₁B₁C₁.
(2)将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D₁EF₁,画出△D₁EF₁.
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A₁B₁C₁.
(2)将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D₁EF₁,画出△D₁EF₁.
答案：
本题可根据中心对称图形的性质和旋转的性质进行画图。
$(1)$ 画出$\triangle ABC$关于原点$O$的中心对称图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$
根据中心对称的性质：关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数。
已知$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(2,1)$，则它们关于原点$O$对称的点$A_1(-1,-2)$，$B_1(-3,-4)$，$C_1(-2,-1)$。
在网格中找到$A_1$、$B_1$、$C_1$这三个点，然后依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
$(2)$ 将$\triangle DEF$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle D_{1}EF_{1}$
根据旋转的性质：绕点旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角。
- 连接$ED$、$EF$。
以点$E$为旋转中心，将$ED$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到$ED_1$。
以点$E$为旋转中心，将$EF$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到$EF_1$。
连接$D_1F_1$，得到$\triangle D_{1}EF_{1}$。
综上，$(1)$ 画出$\boldsymbol{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$（按照上述坐标找点连线）；$(2)$ 画出$\boldsymbol{\triangle D_{1}EF_{1}}$（按照上述旋转方法作图） 。
$(1)$ 画出$\triangle ABC$关于原点$O$的中心对称图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$
根据中心对称的性质：关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数。
已知$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(2,1)$，则它们关于原点$O$对称的点$A_1(-1,-2)$，$B_1(-3,-4)$，$C_1(-2,-1)$。
在网格中找到$A_1$、$B_1$、$C_1$这三个点，然后依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
$(2)$ 将$\triangle DEF$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle D_{1}EF_{1}$
根据旋转的性质：绕点旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角。
- 连接$ED$、$EF$。
以点$E$为旋转中心，将$ED$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到$ED_1$。
以点$E$为旋转中心，将$EF$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到$EF_1$。
连接$D_1F_1$，得到$\triangle D_{1}EF_{1}$。
综上，$(1)$ 画出$\boldsymbol{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$（按照上述坐标找点连线）；$(2)$ 画出$\boldsymbol{\triangle D_{1}EF_{1}}$（按照上述旋转方法作图） 。
19. [2024·黄山期中]如图,在△ABC中,∠ABC=α.将△ABC绕点B顺时针旋转α得到△A₁BC₁,再将△A₁BC₁绕点A₁顺时针旋转α得到△A₁B₁C₂,连接AB₁.
(1)若AB=2,α=90°,则AB₁的长为
(2)若60°＜α＜90°,求证:AB₁//A₁B.
(1)若AB=2,α=90°,则AB₁的长为
2√5
;(2)若60°＜α＜90°,求证:AB₁//A₁B.
证明：由旋转的性质可知，AB=A₁B，A₁B=A₁B₁，∠ABA₁=α，∠B₁A₁C₁=∠BA₁C₁=α，∠BA₁C₁=∠BAC。所以AB=A₁B₁，A₁B=A₁B₁，故∠A₁BB₁=∠A₁B₁B。因为∠BA₁B₁=180°-2∠A₁BB₁，∠BA₁A=∠ABA₁+∠ABA₁=2α（此处原答案证明过程表述不清晰，修正为：由旋转性质得∠ABA₁=α，∠B₁A₁A=α，AB=A₁B，A₁B=A₁B₁，所以AB=A₁B₁，A₁B=A₁B₁，进而∠BA₁B₁=∠B₁A₁A=α，内错角相等，所以AB₁//A₁B）。所以∠BA₁B₁=∠B₁A₁A，所以AB₁//A₁B。
答案：
$(1)$ 求$AB_{1}$的长
已知$\alpha = 90^{\circ}$，$AB = 2$。
将$\triangle ABC$绕点$B$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{1}BC_{1}$，再将$\triangle A_{1}BC_{1}$绕点$A_{1}$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{2}$。
则$\angle ABA_{1}=\alpha +\alpha=90^{\circ}+90^{\circ} = 180^{\circ}$，$AB = A_{1}B_{1}=2$，$AA_{1}=AB + A_{1}B=2 + 2=4$。
在$Rt\triangle AA_{1}B_{1}$中，根据勾股定理$AB_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}$，把$AA_{1}=4$，$A_{1}B_{1}=2$代入可得：
$AB_{1}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
$(2)$ 证明$AB_{1}// A_{1}B$
解：
由旋转的性质可知$AB = A_{1}B_{1}$，$\angle ABA_{1}=\alpha+\alpha = 2\alpha$，$\angle B_{1}A_{1}A=\alpha$。
在$\triangle ABA_{1}$中，$AB = A_{1}B_{1}$，$AB = A_{1}B$（旋转性质），所以$A_{1}B = A_{1}B_{1}$。
$\angle BA_{1}B_{1}=\angle ABA_{1}-\angle B_{1}A_{1}A=2\alpha-\alpha=\alpha$。
所以$\angle BA_{1}B_{1}=\angle B_{1}A_{1}A$（内错角相等）。
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB_{1}// A_{1}B$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$；$(2)$证明过程如上述。
已知$\alpha = 90^{\circ}$，$AB = 2$。
将$\triangle ABC$绕点$B$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{1}BC_{1}$，再将$\triangle A_{1}BC_{1}$绕点$A_{1}$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{2}$。
则$\angle ABA_{1}=\alpha +\alpha=90^{\circ}+90^{\circ} = 180^{\circ}$，$AB = A_{1}B_{1}=2$，$AA_{1}=AB + A_{1}B=2 + 2=4$。
在$Rt\triangle AA_{1}B_{1}$中，根据勾股定理$AB_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}$，把$AA_{1}=4$，$A_{1}B_{1}=2$代入可得：
$AB_{1}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
$(2)$ 证明$AB_{1}// A_{1}B$
解：
由旋转的性质可知$AB = A_{1}B_{1}$，$\angle ABA_{1}=\alpha+\alpha = 2\alpha$，$\angle B_{1}A_{1}A=\alpha$。
在$\triangle ABA_{1}$中，$AB = A_{1}B_{1}$，$AB = A_{1}B$（旋转性质），所以$A_{1}B = A_{1}B_{1}$。
$\angle BA_{1}B_{1}=\angle ABA_{1}-\angle B_{1}A_{1}A=2\alpha-\alpha=\alpha$。
所以$\angle BA_{1}B_{1}=\angle B_{1}A_{1}A$（内错角相等）。
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB_{1}// A_{1}B$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$；$(2)$证明过程如上述。
20. 图1,图2均是4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点(网格线的交点)上,按要求作图.
(1)在图1中以AB为边画一个四边形,使它的另外两个顶点在格点上,且该四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(2)在图2中以AB为对角线画一个四边形,使它的另外两个顶点在格点上,且所画四边形既是中心对称图形又是轴对称图形.
(1)在图1中以AB为边画一个四边形,使它的另外两个顶点在格点上,且该四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(2)在图2中以AB为对角线画一个四边形,使它的另外两个顶点在格点上,且所画四边形既是中心对称图形又是轴对称图形.
答案：
解：
(1)作图1如下。(答案不唯一)
(2)作图2如下。(答案不唯一)
解：
(1)作图1如下。(答案不唯一)
(2)作图2如下。(答案不唯一)
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