《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

23. [2024·北京中考]已知∠MAN=α(0°＜α＜45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E.

(1)如图1,当点D在射线AN上时,求证:C是AE的中点;
(2)如图2,当点D在∠MAN内部时,作DF//AN,交射线AM于点F,用等式表示线段EF与AC之间的数量关系,并证明.

答案： 解：
(1)证明略。
(2)$ E F = 2 A C $。
证明：在射线$ A M $上取点$ H $，使得$ B H = B A $，取$ E F $的中点$ G $，连接$ D H $，$ D G $，$ B H $。
$ \because B H = B A $，$ \therefore \angle M A N = \angle B H A = \alpha $，
$ \therefore \angle A B H = 180 ^ { \circ } - 2 \alpha = \angle C B D $，$ \therefore \angle A B C = \angle H B D $。
$ \because B C = B D $，$ \therefore \triangle A B C \cong \triangle H B D ( S A S ) $，
$ \therefore A C = D H $，$ \angle B H D = \angle M A N = \alpha $，
$ \therefore \angle F H D = \angle B H A + \angle B H D = 2 \alpha $。
$ \because D F // A N $，$ \therefore \angle E F D = \angle M A N = \alpha $，$ \angle E D F = 90 ^ { \circ } $。
$ \because G $是$ E F $的中点，$ \therefore G F = D G $，$ E F = 2 D G $，
$ \therefore \angle G F D = \angle G D F = \alpha $，$ \therefore \angle E G D = 2 \alpha $，
$ \therefore \angle E G D = \angle F H D $，$ \therefore D G = D H = A C $，
$ \therefore E F = 2 A C $。