《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

9. 如图,在长方形 $ A B C D $ 中,以点 $ D $ 为圆心, $ A D $ 长为半径作弧与 $ B D $ 交于点 $ E $;以点 $ B $ 为圆心, $ A B $ 长为半径作弧与 $ B D $ 交于点 $ F $.设 $ A B = a $, $ A D = b $,则方程 $ x ^ { 2 } + 2 a x = b ^ { 2 } $ 的一个正根是

A. $ D F $ 的长
B. $ B E $ 的长
C. $ E F $ 的长
D. $ B D $ 的长

答案： A

10. 我国古代数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程 $ x ^ { 2 } + 5 x - 14 = 0 $ 即 $ x ( x + 5 ) = 14 $ 为例,记载的方法是:构造如图面积是 $ ( x + x + 5 ) ^ { 2 } $ 的大正方形,同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即 $ 4 × 14 + 5 ^ { 2 } = 81 $,因此 $ x = 2 $.则在下列四个构图中,能正确说明方程 $ x ^ { 2 } - 3 x - 10 = 0 $ 的解法的构图是

答案： B

11. 已知 $ x = 1 $ 是方程 $ x ^ { 2 } + x - c = 0 $ 的一个根,则 $ c $ 的值是______.

答案： 2

12. 已知 $ ( a - 1 ) x ^ { 2 } - 5 x + 3 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程,则不等式 $ 3 a + 6 ＞ 0 $ 的解集是$ a ＞ - 2 $且$ a \neq 1 $.

答案： $ a ＞ - 2 $且$ a \neq 1 $

13. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这么一道题:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?经过计算,长比宽多12步.

答案： 12

14. 已知 $ m $ 是方程 $ ( x ^ { 2 } + 2 x ) ( x ^ { 2 } + 2 x - 3 ) = 28 $ 的实数根.
(1)代数式 $ m ^ { 2 } + 2 m $ 的值为7;
(2)代数式 $ 2025 - 10 m - 5 m ^ { 2 } $ 的值是1990.

答案：
(1)7
(2)1 990

15. 解方程: $ 4 x ^ { 2 } - 24 x + 36 = 9 $.

答案： 解：$ x _ { 1 } = \frac { 9 } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } $。