《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

1. 已知 -1 ＜ b ＜ 0, 0 ＜ a ＜ 1，则 a + b, a - b, a + b², a² + b 中最大的是 （ ）
A. a + b
B. a - b
C. a + b²
D. a² + b

答案： B

2. 如图，在长方形 ABCD 中，AD = 4, CD = 3, AC = BD = 5, P 是 AD 上一点，PE⊥AC 于点 E, PF⊥BD 于点 F，则 PE + PF 的值为 （ ）

A. $\frac{12}{5}$
B. $\frac{24}{5}$
C. 5
D. 7

答案：
A 解析 方法一:如图,当点P在点D处时,P,D,F三点重合.

$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot DE$,
所以$DE=\frac{AD\cdot CD}{AC}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}$.
所以$PE + PF$的值为$\frac{12}{5}$.
方法二:如图,连接PO.

由题意易得$OA = OD=\frac{5}{2}$,
所以$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle AOP}+S_{\triangle DOP}=\frac{1}{2}OA\cdot PE+\frac{1}{2}OD\cdot PF=\frac{5}{4}(PE + PF)$,
$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{4}S_{长方形ABCD}=\frac{1}{4}AD\cdot CD=\frac{1}{4}\times4\times3 = 3$.
所以$\frac{5}{4}(PE + PF)=3$.所以$PE + PF=\frac{12}{5}$.

3.（1）如图①，点 O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将以点 O 为顶点的直角绕点 O 旋转，且两边分别与 AB, BC 交于点 E, F，则与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为________.
（2）如图②，点 M 是边长为 a 的正方形 ABCD 内一点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线过点 M），将正方形 ABCD 分割成面积相等的四部分.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{4}a^{2}$
(2)如图.

4. 综合与探究
分别以△ABC 的两边 AC, BC 为边作正方形 ACDE 和正方形 BCFG. 连接 DF，探究 AB, DF 之间的数量关系和位置关系.
[特殊情况]（1）如图①，若∠ACB = 90°，直接写出 AB, DF 之间的数量关系和位置关系.
[特例启发]（2）在图②中，AB 与 DF 之间有怎样的关系？说明理由.
[拓展延伸]（3）改变点 B 的位置，如图③，AB 与 DF 之间的关系是否仍然成立？说明理由.

答案：
解:
(1)$AB = DF,AB\perp DF$.
提示:如图,延长AB交DF于点M.

因为四边形ACDE和四边形BCFG是正方形,
所以$\angle ACB=\angle DCF = 90^{\circ},AC = DC,BC = FC$.
所以$\triangle ACB\cong\triangle DCF(SAS)$.
所以$AB = DF,\angle BAC=\angle FDC$.
因为$\angle DCF = 90^{\circ}$,
所以$\angle FDC+\angle DFC = 90^{\circ}$.
所以$\angle BAC+\angle DFC = 90^{\circ}$.
所以$\angle AMF = 180^{\circ}-(\angle BAC+\angle DFC)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
所以$AB\perp DF$.
(2)$AB = DF,AB\perp DF$.
理由:如图,延长AB交DF于点M,交CD于点N.

因为四边形ACDE和四边形BCFG是正方形,
所以$\angle ACD=\angle BCF = 90^{\circ},AC = DC,BC = FC$.
所以$\angle ACD-\angle BCD=\angle BCF-\angle BCD$,即$\angle ACB=\angle DCF$.
在$\triangle ACB$和$\triangle DCF$中,
因为$AC = DC,\angle ACB=\angle DCF,BC = FC$,
所以$\triangle ACB\cong\triangle DCF(SAS)$.
所以$AB = DF,\angle BAC=\angle FDC$.
因为$\angle ANC$与$\angle DNM$是对顶角,
所以$\angle ANC=\angle DNM$.
因为$\angle ACD = 90^{\circ}$,
所以$\angle BAC+\angle ANC = 90^{\circ}$.
所以$\angle FDC+\angle DNM = 90^{\circ}$.
所以$\angle DMN = 90^{\circ}$.
所以$AB\perp DF$.
(3)成立.
如图,设AB交DF于点M,交CD于点N.

理由:因为四边形ACDE和四边形BCFG是正方形,
所以$\angle ACD=\angle BCF = 90^{\circ},AC = DC,BC = FC$.
所以$\angle ACD+\angle BCD=\angle BCF+\angle BCD$,即$\angle ACB=\angle DCF$.
在$\triangle ACB$和$\triangle DCF$中,
因为$AC = DC,\angle ACB=\angle DCF,BC = FC$,
所以$\triangle ACB\cong\triangle DCF(SAS)$.
所以$AB = DF,\angle BAC=\angle FDC$.
因为$\angle ANC$与$\angle DNM$是对顶角,
所以$\angle ANC=\angle DNM$.
因为$\angle ACD = 90^{\circ}$,
所以$\angle BAC+\angle ANC = 90^{\circ}$.
所以$\angle FDC+\angle DNM = 90^{\circ}$.
所以$\angle DMN = 90^{\circ}$.
所以$AB\perp DF$.