《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

13.（1）若$4^{x}=2^{8}$，求x的值；
（2）若$3^{x + 1}-3^{x}=18$，求x的值.

答案： 解:
(1)因为$4^{x}=2^{8}$,所以$(2^{2})^{x}=2^{8}.$
所以$2^{2x}=2^{8}$. 所以$2x = 8.$
解得$x = 4.$
(2)因为$3^{x + 1}-3^{x}=18$,所以$3×3^{x}-3^{x}=2×3^{2}.$
所以$2×3^{x}=2×3^{2}$. 所以$3^{x}=3^{2}.$
所以$x = 2.$

14. 已知$3^{a}=4$，$3^{b}=10$，$3^{c}=25$，试探究a，b，c之间的数量关系，并说明理由.

答案： 解:$a + c = 2b.$
理由:因为$3^{a}\cdot 3^{c}=4×25 = 100,(3^{b})^{2}=10^{2}=100,$
所以$3^{a}\cdot 3^{c}=(3^{b})^{2}.$
所以$3^{a + c}=3^{2b}.$
所以$a + c = 2b.$

15. 阅读下面材料，解决问题：
材料一：比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解：因为$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$，且3＞2，
所以$3^{22}＞2^{22}$，即$3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解：因为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，且8＞6，
所以$2^{8}＞2^{6}$，即$2^{8}＞8^{2}$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
问题：
（1）比较$3^{44}$，$4^{33}$，$5^{22}$的大小；
（2）比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小；
（3）已知$a^{2}=2$，$b^{3}=3$，比较a，b的大小（a，b均为大于1的数）.

答案： 解:
(1)因为$3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11},4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11},5^{22}=(5^{2})^{11}=25^{11}$,且$81＞64＞25,$
所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$,即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}.$
(2)因为$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124},27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123},9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$,且$124＞123＞122,$
所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$,即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}.$
(3)因为$a^{2}=2,b^{3}=3$,所以$a^{6}=(a^{2})^{3}=2^{3}=8,b^{6}=(b^{3})^{2}=3^{2}=9.$
所以$a^{6}＜b^{6}.$
因为$a,b$均为大于1的数,所以$a ＜ b.$

易错特训 计算$a^{4}\cdot a^{5}+(a^{4})^{5}$的结果是 （ ）
A. $2a^{20}$
B. $2a^{9}$
C. $a^{9}+a^{20}$
D. $a^{29}$

答案： C