《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

1. 计算$(4a^{3})^{2}$的结果是（ ）
A. $8a^{5}$
B. $8a^{6}$
C. $4a^{6}$
D. $16a^{6}$

答案： D 解析$(4a^{3})^{2}=4^{2}×(a^{3})^{2}=16a^{6}.$

2. 计算$(ab^{2})^{3}$的结果是（ ）
A. $ab^{5}$
B. $a^{3}b^{5}$
C. $ab^{6}$
D. $a^{3}b^{6}$

答案： D 解析$(ab^{2})^{3}=a^{3}\cdot (b^{2})^{3}=a^{3}b^{6}.$

3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. $(-3x^{3})^{2}=9x^{6}$
B. $(-2a)^{2}=-4a^{2}$
C. $(a^{3}\cdot a^{2})^{2}=a^{7}$
D. $(-ab^{3})^{2}=ab^{5}$

答案： A 解析 B.$(-2a)^{2}=4a^{2}$; C.$(a^{5}\cdot a^{2})^{2}=(a^{7})^{2}=a^{14}$; D.$(-ab^{3})^{2}=a^{2}b^{6}.$

4. 计算$\left(-\frac{2}{3}x^{2}y\right)^{3}$的结果是________.

答案： $-\frac {8}{27}x^{6}y^{3}$ 解析$(-\frac {2}{3}x^{2}y)^{3}=(-\frac {2}{3})^{3}(x^{2})^{3}\cdot y^{3}=-\frac {8}{27}x^{6}y^{3}$

5. 若一个正方体的棱长为$3×10^{3}$，则这个正方体的体积为________.

答案： $2.7×10^{10}$ 解析这个正方体的体积为$(3×10^{3})^{3}=3^{3}×(10^{3})^{3}=27×10^{9}=2.7×10^{10}.$

6. 计算：
（1）$(-2b^{2})^{3}\cdot b$； （2）$(3a^{2})^{3}\cdot a^{3}$；
（3）$(x^{2})^{4}-(-2x^{4})^{2}$； （4）$(2x^{3m})^{2}-(3x^{2m})^{3}$.

答案： 解:
(1)$(-2b^{2})^{3}\cdot b=(-2)^{3}(b^{2})^{3}\cdot b=-8b^{7}.$
(2)$(3a^{2})^{3}\cdot a^{3}=3^{3}(a^{2})^{3}\cdot a^{3}=27a^{9}.$
(3)$(x^{2})^{4}-(-2x^{4})^{2}=x^{8}-(-2)^{2}(x^{4})^{2}=x^{8}-4x^{8}=-3x^{8}.$
(4)$(2x^{2}m)^{2}-(3x^{2}m)^{3}=2^{2}(x^{2})^{2}m^{2}-3^{3}(x^{2})^{3}m^{3}=4x^{4}m^{2}-27x^{6}m^{3}=-23x^{4}m^{2}$.

7. 计算$2^{20}×(-0.5)^{20}$的结果是（ ）
A. -1
B. 1
C. 0.5
D. -0.5

答案： B 解析$2^{20}×(-0.5)^{20}=[2×(-0.5)]^{20}=(-1)^{20}=1.$

【变式一】计算：$\left(-\frac{5}{13}\right)^{20}×\left(-\frac{13}{5}\right)^{21}=$________.

答案： $\frac{13}{5}$ 解析原式$=(-\frac{5}{13})^{2023}×(-\frac{13}{5})^{2023}×(-\frac{13}{5})=[(-\frac{5}{13})×(-\frac{13}{5})]^{2023}×(-\frac{13}{5})=\frac{13}{5}.$

【变式二】计算：$\left(\frac{1}{10}×\frac{1}{9}×\frac{1}{8}×\cdots×\frac{1}{2}×1\right)^{20}\cdot(1×2×3×\cdots×9×10)^{20}$.

答案： 解:$(\frac{1}{10}×\frac{1}{9}×\frac{1}{8}×\cdots×\frac{1}{2}×1)^{2024}×(10×9×8×\cdots×2×1)^{2024}=(\frac{1}{10}×\frac{1}{9}×\frac{1}{8}×\cdots×\frac{1}{2}×1×10×9×8×\cdots×2×1)^{2024}=1^{2024}=1.$

8. 已知$2^{x + 3}\cdot3^{x + 3}=6^{2x - 4}$，求$x$的值.

答案： 解:因为$2^{x + 3}\cdot 3^{x + 3}=(2×3)^{x + 3}=6^{x + 3}$,$2^{2x - 4}\cdot 3^{2x - 4}=6^{2x - 4}$,所以$6^{x + 3}=6^{2x - 4}$.所以$x + 3 = 2x - 4$.解得$x = 7$.

9. 给出下列算式：①$a^{2m}=a^{2}\cdot a^{m}$；②$a^{2m}=(a^{2})^{m}$；③$a^{2m}=(-a^{m})^{2}$；④$a^{2m}=(-a^{2})^{m}$. 其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B 解析$a^{m}\cdot a^{m}=a^{2m}$,$(a^{m})^{2}=a^{2m}$,故①不正确,②正确;$(-a^{m})^{2}=a^{2m}$,故③正确;当$m$为偶数时,$(-a^{m})^{2}=a^{2m}$,当$m$为奇数时,$(-a^{m})^{2}=-a^{2m}$,故④不正确.综上,正确的有②③,共2个.

10. 如果$(a^{m}\cdot b\cdot b^{n})^{3}=a^{6}b^{15}$，那么$m$，$n$的值分别是（ ）
A. 2，4
B. 2，5
C. 3，5
D. 3，-5

答案： A 解析因为$(a^{m}\cdot b\cdot b^{2})^{3}=(a^{m}\cdot b^{n + 1})^{3}=a^{3m}\cdot b^{3n + 3}=a^{6}b^{15}$,所以$3m = 6$,$3n + 3 = 15$.解得$m = 2$,$n = 4$.

11. 计算$(-4×10^{3})^{2}×(-2×10^{3})^{3}$的结果为（ ）
A. $1.28×10^{17}$
B. $-1.28×10^{17}$
C. $4.8×10^{16}$
D. $-2.4×10^{16}$

答案： B 解析$(-4×10^{3})^{3}×(-2×10^{2})^{2}=(-64)×10^{9}×4×10^{4}=-256×10^{13}=-2.56×10^{15}$.

12. 已知$2^{n}=a$，$3^{n}=b$，$24^{n}=c$，那么$a$，$b$，$c$之间满足的等量关系是（ ）
A. $c = 3a + b$
B. $c = a^{3}+b$
C. $c = 3ab$
D. $c = a^{3}b$

答案： D 解析因为$2^{4n}=(2^{3})^{n}\cdot 8^{n}=2^{3n}\cdot 8^{n}=a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}$,所以$c = (ab)^{n}$.