《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

9. 已知$a - b = 3$，$ab = 1$，求$(a + b)^2$的值。

答案： 解：因为(a - b)² = a² - 2ab + b²，a - b = 3，ab = 1，
所以3² = a² + b² - 2×1.
所以a² + b² = 11.
所以(a + b)² = a² + 2ab + b² = 11 + 2×1 = 13.

10. 若$a + b = 10$，$a^2 + b^2 = 84$，则$ab$的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

答案： B 解析 因为(a + b)² = a² + 2ab + b²，a + b = 10，a² + b² = 84，
所以10² = 84 + 2ab.
所以2ab = 16. 所以ab = 8.

11. 若$x + y = 1$，$x - y = 3$，则$xy$的值为( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2

答案： D 解析 因为x + y = 1，x - y = 3，
所以4xy = (x + y)² - (x - y)² = 1² - 3² = -8.
所以xy = -2.

12. 若长方形的长和宽分别为$a$，$b$，且$(a + b)^2 = 16$，$(a - b)^2 = 4$，则该长方形的面积为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

答案： A 解析 因为(a + b)² = 16，(a - b)² = 4，
所以4ab = (a + b)² - (a - b)² = 12.
所以ab = 3.
所以该长方形的面积为3.

13. 若$m^2 + n^2 = 6$且$m - n = 4$，则$mn$的值为________。

答案： -5 解析 因为m - n = 4，
所以(m - n)² = 16，即m² - 2mn + n² = 16.
因为m² + n² = 6，
所以6 - 2mn = 16.
所以mn = -5.

14. 若$x$满足$(5 - x)^2 + (3 - x)^2 = 4052$，求$(5 - x)(3 - x)$的值。

答案： 解：设5 - x = a，3 - x = b，则a - b = (5 - x) - (3 - x) = 2，a² + b² = (5 - x)² + (3 - x)² = 4052.
因为(a - b)² = a² + b² - 2ab，
所以2² = 4052 - 2ab.
所以ab = 2024，即(5 - x)(3 - x) = 2024.

15. 已知$a + b = 5$，$ab = -2$，则$a^2 - ab + b^2$的值为( )
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

答案： B 解析 因为a + b = 5，ab = -2，
所以a² - ab + b² = (a + b)² - 3ab = 25 - 3×(-2) = 31.

16. 如图，用四个完全相同且长、宽分别为$x$，$y$($x＞y$)的长方形围成一个大正方形$ABCD$，中间是小正方形$EFGH$。已知$AB = 11$，$EF = 5$，则下列关系式中错误的是( )

A. $x - y = 5$
B. $xy = 24$
C. $x^2 - y^2 = 55$
D. $x^2 + y^2 = 83$

答案： D 解析 由题图，得x + y = 11，x - y = 5，故A正确.所以大正方形ABCD的面积为(x + y)² = 11² = 121，小正方形EFGH的面积为(x - y)² = 5² = 25.
因为(x + y)² - (x - y)² = 121 - 25 = 96，
所以x² + 2xy + y² - x² + 2xy - y² = 96.
所以xy = 24，故B正确.
x² - y² = (x + y)(x - y) = 11×5 = 55，故C正确.
因为(x + y)² + (x - y)² = 121 + 25 = 146，
所以x² + 2xy + y² + x² - 2xy + y² = 146.
所以x² + y² = 73，故D错误.

17. 已知$a - b = 3$，$ab = 1$，求：
- (1)$a^2 + 3ab + b^2$的值；
- (2)$(a + b)^2$的值。

答案： 解：
(1)因为a - b = 3，ab = 1，
所以a² + 3ab + b² = (a - b)² + 5ab = 3² + 5×1 = 14.
(2)(a + b)² = (a - b)² + 4ab = 3² + 4×1 = 13.

18. 已知$(x + y)^2 = 49$，$xy = 2$，求：
- (1)$2x^2 + 2y^2$的值；
- (2)$(x - y)^2 - xy$的值。

答案： 解：
(1)因为x² + y² = (x + y)² - 2xy = 49 - 2×2 = 45，
所以2x² + 2y² = 2(x² + y²) = 2×45 = 90.
(2)由
(1)得x² + y² = 45，
所以(x - y)² - xy = x² + y² - 3xy = 45 - 3×2 = 39.

19. 已知$(a - b)^2 = 25$，$ab = -6$，求：
- (1)$a^2 + b^2$的值；
- (2)$a^4 + b^4$的值。

答案： 解：
(1)因为(a - b)² = 25，ab = -6，
所以a² + b² = (a - b)² + 2ab = 25 + 2×(-6) = 25 - 12 = 13.
(2)因为a² + b² = 13，ab = -6，
所以a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2a²b² = 13² - 2×(-6)² = 169 - 72 = 97.