《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

1. 给出下列式子：
①$a^{2}$与$a^{3}$； ②$(-5)^{7}$与$(-5)^{11}$；
③$b^{2}$与$(2b)^{2}$； ④$2^{m}$与$(-2)^{m}$；
⑤$(-\frac{1}{2})^{4}$与$(\frac{1}{2})^{5}$.
其中是同底数幂的是 （ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ①⑤

答案： A 解析 $b^{2}$ 的底数是 $b$，而 $(2b)^{2}$ 的底数是 $2b$，故二者不是同底数幂；$2^{m}$ 的底数是 $2$，$(-2)^{m}$ 的底数是 $-2$，故二者不是同底数幂；$(-\frac{1}{2})^{4}$ 的底数是 $-\frac{1}{2}$，$(\frac{1}{2})^{5}$ 的底数是 $\frac{1}{2}$，故二者不是同底数幂.

2. 下列计算正确的是__________.(填序号)
①$x^{3}+x^{3}=x^{3 + 3}=x^{6}$； ②$x^{3}\cdot x^{3}=2x^{3}$；
③$x\cdot x^{3}\cdot x^{5}=x^{0 + 3 + 5}=x^{8}$； ④$x^{2}\cdot x^{5}=x^{2 + 5}=x^{7}$；
⑤$x^{5}\cdot x^{3}=x^{15}$.

答案： ④ 解析 ① $x^{3}+x^{3}=2x^{3}$；② $x^{3}\cdot x^{3}=x^{3 + 3}=x^{6}$；③ $x\cdot x^{3}\cdot x^{5}=x^{1 + 3+5}=x^{9}$；④ $x^{2}\cdot x^{5}=x^{2 + 5}=x^{7}$；⑤ $x\cdot x\cdot x=x^{1+1+1}=x^{3}$.

3. 若$10^{2}\times10^{m}=10^{20}$，则$m$的值为__________.

答案： 18 解析因为 $10^{2}×10^{m}=10^{2 + m}=10^{20}$，所以 $2 + m = 20$，解得 $m = 18$.

4. 计算：
(1)$(\frac{1}{3})^{12}\times(\frac{1}{3})^{5}$； (2)$3\times3^{4}\times3^{5}$；
(3)$(-2)^{5}\times(-2)^{m}$； (4)$-a^{3m}\cdot a^{2m - 1}$.

答案： 解：
(1) $(\frac{1}{3})^{12}×(\frac{1}{3})^{5}=(\frac{1}{3})^{12 + 5}=(\frac{1}{3})^{17}$　
(2) $3×3^{4}×3^{5}=3^{1+4+5}=3^{10}$ 　
(3) $(-2)^{z}×(-2)^{m}=(-2)^{z + m}$　
(4) $-a^{2m}\cdot a^{2m - 1}=-a^{2m + 2m - 1}=-a^{4m - 1}$

5. $m^{6}$可以写成 （ ）
A. $m^{5}+m^{1}$
B. $m^{3}\cdot m^{2}$
C. $m^{2}\cdot m^{4}$
D. $m^{6}\cdot m^{1}$

答案： C

6. 若$a^{m}=2$，$a^{n}=5$，则$a^{m + n}$的值为 （ ）
A. 7
B. 10
C. 25
D. 32

答案： B 解析因为 $a^{m}=2$，$a^{n}=5$，所以 $a^{m + n}=a^{m}\cdot a^{n}=2×5 = 10$.

【变式】已知$3^{m}=9$，$3^{n}=27$，则$3^{m + n + 1}$的值为______.

答案： 729 解析 $3^{m + 2 + 1}=3^{m}×3^{2}×3 = 9×27×3 = 729$.

7.【教材P9习题T2变式】若$2^{a + b}=56$，$2^{a}=7$，则$b$的值为__________.

答案： 3 解析因为 $2^{a + b}=2^{a}\cdot 2^{b}=56$，$2^{a}=7$，所以 $7×2^{b}=56$，所以 $2^{b}=8$，即 $2^{b}=2^{3}$，所以 $b = 3$.

8. 银行的点钞机每分钟大约点钞$10^{3}$张，若点钞时间为$1.2\times10^{2}$分钟，则点钞机可点______元.（按点百元面额钞票计算）

答案： 1.2×10⁸ 解析 $10^{2}×1.2×10^{5}×100 = 1.2×10^{8}$

9. 真空中的光速是目前所发现的自然界物体运动的最大速度，可以达到$3\times10^{8}$m/s. 如果我们在真空中以光速行驶$3.6\times10^{3}$s，那么我们行驶的路程为多少?

答案： 解：$3×10^{5}×3.6×10^{2}=10.8×10^{7}=1.08×10^{8}(m)$，所以我们行驶的路程为 $1.08×10^{8}m$.

10. 描述电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中$1\ GB=2^{10}\ MB$，$1\ MB=2^{10}\ KB$，$1\ KB=2^{10}\ B$. 某视频文件的大小约为$1\ GB$，则$1\ GB$的大小为 （ ）
A. $2^{30}\ B$
B. $8^{30}\ B$
C. $8\times10^{10}\ B$
D. $2\times10^{30}\ B$

答案： A 解析 $2×2^{10}×2^{10}=2^{1 + 10 + 10}=2^{21}$，所以 $1GB = 2^{30}B$.

11. 若$x + y = 4$，则$2^{x}\cdot2^{y}$的值为 （ ）
A. 16
B. $\frac{1}{16}$
C. $\frac{1}{8}$
D. 8

答案： A 解析 $2^{2}\cdot 2^{2}=2^{2 + 2}=2^{4}=16$.

【变式】若$3^{a}\cdot3^{b}=27$，则$a + b$的值为______.

答案： 3 解析因为 $3^{a}\cdot 3^{b}=27$，即 $3^{a + b}=3^{3}$，所以 $a + b = 3$.

12. 计算$a^{4}\cdot(-a)^{5}$的结果是 （ ）
A. $a^{20}$
B. $a^{9}$
C. $-a^{20}$
D. $-a^{9}$

答案： D 解析 $a^{4}\cdot (-a^{2})^{2}=a^{4}\cdot a^{4}=a^{8}$

13. 已知$16\times8\times2^{6}=2^{2x - 1}$，则$x$的值为 （ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

答案： A 解析因为 $16×8×2 = 2^{x - 1}$，所以 $2^{4}×2^{3}×2^{1}=2^{x - 1}$，即 $2^{4 + 3 + 1}=2^{x - 1}$，所以 $4 + 3 + 1 = x - 1$，解得 $x = 9$.

14. 若$\frac{2^{n}+2^{n}+\cdots+2^{n}}{8个2^{n}}=2^{8}$，则$n$的值为 （ ）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

答案： D 解析由题意知 $8×2^{n}=2^{8}$，所以 $2^{3}×2^{n}=2^{8}$，即 $2^{3 + n}=2^{8}$，所以 $3 + n = 8$，解得 $n = 5$.