《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

15. 已知$2^{x}=3$，$2^{y}=6$，$2^{z}=12$，给出下列$x$，$y$，$z$之间的数量关系式：①$x + z = 2y$；②$y + 1 = z$；③$x + 1 = y$.
其中正确的是________.(填序号)

答案： ①②③ 解析因为 $2^{x}\cdot 2^{z}=3×12 = 36$，$2^{y}\cdot 2^{y}=6×6 = 36$，所以 $2^{x}\cdot 2^{z}=2^{y}\cdot 2^{y}$，即 $2^{x + z}=2^{2y}$，所以 $x + z = 2y$，故①正确.因为 $2^{y}×2^{1}=6×2 = 12$，$2^{x}×2^{1}=3×2 = 6$，所以 $2^{y}×2^{1}=2^{z}$，$2^{x}×2^{1}=2^{y}$，即 $2^{y + 1}=2^{z}$，$2^{x + 1}=2^{y}$，所以 $y + 1 = z$，$x + 1 = y$，故②③正确.

16. 计算：
(1)$y\cdot(-y)^{2}\cdot y^{3}$；
(2)$(a - b)^{2}\cdot(b - a)^{3}\cdot(a - b)$.

答案： 解：
(1) $y\cdot (-y)^{2}\cdot y^{5}=y\cdot y^{2}\cdot y^{5}=y^{1 + 2 + 5}=y^{8}$　
(2) $(a - b)^{2}\cdot (b - a)^{3}\cdot (a - b)$　　$=(a - b)^{2}\cdot [-(a - b)]^{3}\cdot (a - b)$　　$=(a - b)^{2}\cdot [-(a - b)^{3}]\cdot (a - b)$　　$=-(a - b)^{6}$

17. 规定新运算“☆”：$x☆y = 3^{x}\cdot3^{y}$.
(1)求$2☆5$的值；
(2)若$1☆(4x - 3)=81$，求$x$的值；
(3)判断$x☆(y + z)$与$(x + y)☆z$是否相等，并说明理由.

答案： 解：
(1) 因为 $x☆y = 3^{x}\cdot 3^{y}$，所以 $2☆5 = 3^{2}×3^{5}=3^{2 + 5}=3^{7}$.　
(2) 因为 $1☆(4x - 3)=81$，所以 $3^{1}×3^{4x - 3}=3^{1 + 4x - 3}=3^{4}$，所以 $1 + 4x - 3 = 4$，解得 $x=\frac{3}{2}$.　
(3) $x☆(y + z)=(x + y)☆z$.　　理由：因为 $x☆(y + z)=3^{x}\cdot 3^{y + z}=3^{x + y + z}$，$(x + y)☆z = 3^{x + y}\cdot 3^{z}=3^{x + y + z}$，所以 $x☆(y + z)=(x + y)☆z$.

18. 规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a,b)$，如果$a^{c}=b$，那么$(a,b)=c$. 我们叫$(a,b)$为“雅对”.
例如：因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$. 我们还可以利用“雅对”定义说明等式$(3,3)+(3,5)=(3,15)$成立. 理由如下：
设$(3,3)=m$，$(3,5)=n$，则$3^{m}=3$，$3^{n}=5$，
所以$3^{m}\cdot3^{n}=3^{m + n}=3\times5 = 15$.
所以$(3,15)=m + n$.
所以$(3,3)+(3,5)=(3,15)$.
(1)填空：$(2,4)=$______；$(5,5)=$______；$(3,27)=$______.
(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，试探究$a$，$b$，$c$之间的数量关系，并说明理由.

答案： 解：
(1) 2　13 　
(2) $a + b = c$.　　理由如下：　　根据题意，得 $4^{a}=5$，$4^{b}=6$，$4^{c}=30$.　　因为 $5×6 = 30$，所以 $4^{a}\cdot 4^{b}=4^{c}$，即 $4^{a + b}=4^{c}$，所以 $a + b = c$.