《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

14. (本题6分)我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功。经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1.2毫米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米？(结果用科学记数法表示)

答案： 解：10年 = 120个月，1.2毫米 = $1.2×10^{-3}$米. (2分)
$1.2×10^{-3}÷120 = 1×10^{-5}$(米). (5分)
所以平均每个月小洞的深度增加$1×10^{-5}$米. (6分)

15. (本题8分)若$(2x - 3)^{x + 3}=1$，求$x$的值。小明解出来的结果为$x = 2$，老师说他考虑问题不全面，那么聪明的你能全面正确地解决这个问题吗？

答案： 解：分以下三种情况讨论：
①当$2x - 3 = 1$时，解得$x = 2$，此时$(2x - 3)^{x + 3}=1^{5}=1$；(2分)
②当$2x - 3 = -1$时，解得$x = 1$，此时$(2x - 3)^{x + 3}=(-1)^{4}=1$；(4分)
③当$x + 3 = 0$时，解得$x = -3$，此时$(2x - 3)^{x + 3}=(-9)^{0}=1$. (6分)
综上所述，$x$的值为2或1或 -3. (8分)

16. (本题8分)规定$a*b=2^{a}\cdot2^{b}$。
(1)求$1*2$的值；
(2)若$2*(x + 1)=32$，求$x$的值。

答案： 解：
(1)由题意，得$1*2 = 2^{1}×2^{2}=2×4 = 8$. (3分)
(2)由题意，得$2*(x + 1)=2^{2}×2^{x + 1}=32$，即$2^{2}×2^{x + 1}=2^{5}$. (5分)
所以$2^{2 + x + 1}=2^{5}$. (6分)
所以$2 + x + 1 = 5$.
解得$x = 2$. (8分)

17. (本题8分)已知$2x - 3y - 2 = 0$，求$9^{2x}\div(27^{y}\cdot3^{3y})$的值。

答案： 解：因为$2x - 3y - 2 = 0$，所以$2x - 3y = 2$. (2分)
所以$9^{x}÷(27^{y}·3^{y})=9^{x}÷(3^{3y}·3^{y})=9^{x}÷3^{4y}=9^{x}÷9^{2y}=9^{x - 2y}=9^{2}=81$. (8分)

18. (本题10分)阅读下面材料：
若$a^{5}=2$，$b^{5}=3$，比较$a$与$b$的大小。
解：因为$a^{15}=(a^{5})^{3}=2^{3}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$，$32＞27$，
所以$a^{15}＞b^{15}$。
所以$a＞b$。
根据上述阅读材料解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了运算性质( )
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2)已知$x^{7}=2$，$y^{9}=3$，试比较$x$与$y$的大小。

答案： 解：
(1)C (2分)
(2)因为$x^{63}=(x^{7})^{9}=2^{9}=512$，$y^{63}=(y^{9})^{7}=3^{7}=2187$，$512＜2187$，
所以$x^{63}＜y^{63}$. 所以$x＜y$. (8分)(10分)