《2025年名校作业七年级数学下册北师大版》

10. 运用乘法公式计算：
(1)$(3x - 5)^{2}-(2x + 7)^{2}$；
(2)$(2a + 3b + 1)(2a - 3b + 1)$；
(3)$[(x + 2)(x - 2)]^{2}$.

答案： 解：
(1)$(3x - 5)^{2}-(2x + 7)^{2}$
$=(9x^{2}-30x + 25)-(4x^{2}+28x + 49)$
$=9x^{2}-30x + 25-4x^{2}-28x - 49$
$=5x^{2}-58x - 24$.
(2)$(2a + 3b + 1)(2a - 3b + 1)$
$=[(2a + 1)+3b][(2a + 1)-3b]$
$=(2a + 1)^{2}-(3b)^{2}$
$=4a^{2}+4a + 1-9b^{2}$.
(3)$[(x + 2)(x - 2)]^{2}$
$=(x^{2}-4)^{2}$
$=x^{4}-8x^{2}+16$.

11. 利用乘法公式简便计算：$201^{2}-203\times197$.

答案： 解：原式$=(200 + 1)^{2}-(200 + 3)(200 - 3)$
$=200^{2}+2\times200\times1+1^{2}-(200^{2}-3^{2})$
$=200^{2}+400 + 1-200^{2}+9$
$=400 + 1+9$
$=410$.

12. 计算：
(1)$-(6xy^{2})^{2}\div3xy$；
(2)$(-2x^{3}y^{2}-3x^{2}y^{2}+2xy)\div2xy$.

答案： 解：
(1)$-(6xy^{2})^{2}\div3xy=-36x^{2}y^{4}\div3xy=-12xy^{3}$.
(2)$(-2x^{3}y^{2}-3x^{2}y^{2}+2xy)\div2xy=-x^{2}y-\frac{3}{2}xy + 1$.

13. 先化简，再求值：$[(3m + 2n)^{2}-3m(3m - 2n)]\div(-4n)$，其中$m = 2,n = -5$.

答案： 解：原式$=(9m^{2}+12mn + 4n^{2}-9m^{2}+6mn)\div(-4n)$
$=(18mn + 4n^{2})\div(-4n)$
$=18mn\div(-4n)+4n^{2}\div(-4n)$
$=-\frac{9}{2}m - n$.
当 $m = 2,n=-5$时,原式$=-\frac{9}{2}\times2-(-5)=-9 + 5=-4$.

数学文化
多项式除以多项式
大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的. 我们已经学习过多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该如何计算呢？
多项式除以多项式一般类比多位数的除法列竖式进行计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止. 被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算$(6x^{4}-7x^{3}-x^{2}-1)\div(2x + 1)$，可用竖式除法，如图：

所以$(6x^{4}-7x^{3}-x^{2}-1)$除以$(2x + 1)$，商式为$3x^{3}-5x^{2}+2x - 1$，余式为0.

请根据以上阅读材料解决下面的问题：
计算$(x^{3}+2x^{2}-3)\div(x - 1)$的结果为________.

答案： $x^{3}+3x + 3$