《2025年通成学典课时作业本高中物理选择性必修第二册人教版》

8. 现代科技(2024·河南濮阳期中)电子对湮灭是指正电子和电子以大小相同、方向相反的速度发生正碰后湮灭，产生$\gamma$射线的现象，电子对湮灭是计算机断层扫描(PET)的物理基础。如图所示，直角坐标系$xOy$位于竖直平面内，在第Ⅰ象限内有平行于$y$轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内一半径为$R$的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场分别与$x$轴和$y$轴相切于$A$点和$C$点，在第Ⅳ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一电子以大小为$v_0$的速度从$A$点沿$y$轴正方向射入磁场，经$C$点射入电场，一正电子从$y$轴上的$D$点沿$x$轴正方向射入第Ⅳ象限，它们恰好在到达$x$轴上的$P$点时发生正碰从而发生湮灭现象。已知$O$、$P$两点间的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$，电子的比荷为$k$，不计它们所受的重力以及它们间的相互作用。求：
(1) 第Ⅱ象限圆形区域内匀强磁场的磁感应强度的大小$B_1$。
(2) 第Ⅰ象限内匀强电场的电场强度的大小$E$。
(3) 电子从$A$点出发与正电子从$D$点出发的时间间隔$\Delta t$。

答案： 8.解:
(1)设电子的质量为$m$，电子在第Ⅱ象限的磁场中做匀速圆周运动的半径为$r_{1}$，根据几何关系有$r_{1}=R$，根据洛伦兹力提供向心力有$ev_{0}B_{1}=\frac{mv_{0}^{2}}{r_{1}}$，解得$B_{1}=\frac{v_{0}}{kR}$。
(2)设电子在第Ⅰ象限内的电场中运动的时间为$t_{2}$，根据运动的合成和分解有$\frac{2\sqrt{3}}{3}R = v_{0}t_{2}$，$R=\frac{1}{2}v_{y}t_{2}$，设电子在第Ⅰ象限内的电场中的加速度为$a$，根据牛顿第二定律有$Ee = ma$，根据运动规律有$v_{y}=at_{2}$，解得$E=\frac{3v_{0}^{2}}{2kR}$。
(3)电子在第Ⅱ象限磁场中运动的时间$t_{1}=\frac{\pi R}{2v_{0}}$，设电子到达$P$点时速度方向与$x$轴正方向的夹角为$\theta$，根据运动的合成和分解可知$\tan\theta=\frac{v_{y}}{v_{0}}$，解得$\theta=\frac{\pi}{3}$，电子到达$P$点时的速度大小$v=\frac{v_{0}}{\cos\theta}$，设正电子在第Ⅳ象限的磁场中做匀速圆周运动的半径为$r_{2}$，根据几何关系有$r_{2}\sin\theta=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$，正电子在第Ⅳ象限中运动的时间$t_{3}=\frac{(\pi - \theta)r_{2}}{v}$，电子从$A$点出发与正电子从$D$点出发的时间间隔$\Delta t=t_{1}+t_{2}-t_{3}$，解得$\Delta t=\frac{\pi R}{18v_{0}}+\frac{2\sqrt{3}R}{3v_{0}}$。

9. 如图所示，在平面直角坐标系中，三、四象限有竖直向下的匀强电场$E$和垂直纸面向里的匀强磁场(磁感应强度为$B$)，其中有一个带负电荷的粒子，电荷量为$-q$，质量为$m$。从$y$轴上的$P$点以速度$v_0$沿着$x$轴正方向抛出，$PO$的长度为$l$，经过$x$轴上的$A$点时速度方向与$x$轴正方向成$60°$角进入电场和磁场后，又经过$y$轴负半轴上的$C$点(图中未画出)后经过原点$O$进入第一象限，然后又经过$x$轴上的$D$点(图中未画出)进入电场和磁场中，之后第二次经过$A$点射出，重力加速度为$g$，求：
(1) $O$点到$D$点的距离、粒子进入电场和磁场时的速度。
(2) 粒子从$P$到第二次从$A$点射出经过的总时间$t$。

答案：
9.解:
(1)粒子的运动轨迹如图所示，粒子从$P$点到$A$点做平抛运动，则$x_{OA}=v_{0}t_{1}$，$l=\frac{1}{2}gt_{1}^{2}$，$\tan\theta=\frac{gt_{1}}{v_{0}}$，联立解得$x_{OA}=\frac{2\sqrt{3}}{3}l$，$t_{1}=\frac{\sqrt{3}v_{0}}{g}$，所以$O$点到$D$点的距离$x_{OD}=2x_{OA}=\frac{4\sqrt{3}}{3}l$，粒子进入电场和磁场时的速度大小为$v=\frac{v_{0}}{\cos\theta}=2v_{0}$，方向与$x$轴正方向成$60^{\circ}$斜向下。
(2)设粒子在磁场中做圆周运动的时间为$t_{2}$，则$t_{2}=2\frac{360^{\circ}-2\theta}{360^{\circ}}T$，$T=\frac{2\pi m}{qB}$，由平抛运动的对称性可知粒子从$P$到第二次从$A$点射出经过的总时间$t=3t_{1}+t_{2}=\frac{3\sqrt{3}v_{0}}{g}+\frac{8\pi m}{3qB}$。