《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

27. (本小题满分12分)
【概念认识】
如图①，在$\angle ABC$中，若$\angle ABD = \angle DBE = \angle EBC$，则$BD$，$BE$叫做$\angle ABC$的“三等分线”.其中，$BD$是“邻$AB$三等分线”，$BE$是“邻$BC$三等分线”.

【问题解决】
(1)如图②，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$.若$\angle B$的三等分线$BD$交$AC$于点$D$，求$\angle BDC$的度数.
(2)如图③，在$\triangle ABC$中，$BP$，$CP$分别是$\angle ABC$“邻$BC$三等分线”和$\angle ACB$“邻$BC$三等分线”，且$\angle BPC = 140^{\circ}$，求$\angle A$的度数.
【延伸推广】
(3)在$\triangle ABC$中，$\angle ACD$是$\triangle ABC$的外角，$\angle ABC$的三等分线所在的直线与$\angle ACD$的三等分线所在的直线交于点$P$.若$\angle A = m^{\circ}(m ＞ 54)$，$\angle ABC = 54^{\circ}$，请直接写出$\angle BPC$的度数.(用含$m$的代数式表示)

答案：
(1) ∠ABC=45°，三等分后每个角为15°。
若BD为邻AB三等分线，则∠DBC=30°。∠C=180°-80°-45°=55°，∠BDC=180°-30°-55°=95°；
若BD为邻BC三等分线，则∠DBC=15°，∠BDC=180°-15°-55°=110°。
故∠BDC=95°或110°。
(2) 设∠PBC=x，∠PCB=y。BP、CP为邻BC三等分线，∠ABC=3x，∠ACB=3y。在△BPC中，x+y=180°-140°=40°，∠ABC+∠ACB=3(x+y)=120°，∠A=180°-120°=60°。
(3) (m-54)/3 °，m/3 °，2m/3 °，(2m+54)/3 °。