《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

27. (本小题满分10分)
如图①，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在边AB和边AC
上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则可以得到两个结论：①∠AED+
∠AFD=180°；②DE=DF.
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在边AB和边
AC上”，请探究以下两个问题.
(1)如图②，若∠AED+∠AFD=180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请说明理
由；若不相等，请举出反例.
(2)若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？(只写出结论，不证明)

答案：
(1) DE=DF。理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN（角平分线的性质），且∠DME=∠DNF=90°。
∵∠AED+∠AFD=180°，∠AED+∠DEM=180°（平角定义），
∴∠DEM=∠AFD（等角的补角相等）。
在△DEM和△DFN中，
∠DEM=∠DFN，
∠DME=∠DNF，
DM=DN，
∴△DEM≌△DFN（AAS），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
(2) 不成立。