《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

26. (本小题满分11分)
阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式$(x^{2} - 4x + 1)(x^{2} - 4x + 7) + 9$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2} - 4x = y$.
则$(x^{2} - 4x + 1)(x^{2} - 4x + 7) + 9$
$=(y + 1)(y + 7) + 9$(第一步)
$=y^{2} + 8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2} - 4x + 4)^{2}$.(第四步)
请根据上述材料解答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的C.
A. 提公因式法
B. 平方差公式法
C. 完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：$(x - 2)^{4}$.
(3)请你用换元法对多项式$(x^{2} + 2x)(x^{2} + 2x + 2) + 1$进行因式分解.

答案：
(1)C
(2)$(x - 2)^{4}$
(3)设$x^{2}+2x = m$，
则$(x^{2} + 2x)(x^{2} + 2x + 2) + 1=m(m + 2)+1=m^{2}+2m + 1=(m + 1)^{2}=(x^{2}+2x + 1)^{2}=(x + 1)^{4}$。