《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

24. (本小题满分8分)
如图，在$\triangle ABC$中，$CD$，$CE$分别是边$AB$上的高和中线.若$AC = 3$，$AB = 5$，$BC = 4$，$\angle ACB = 90^{\circ}$.
(1)求$CD$的长.

(2)求$\triangle EBC$与$\triangle ACE$的周长之差.

答案：
(1)
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$AB = 5$，$BC = 4$，
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
$12 = 5CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}$。
(2)
因为$CE$是$AB$边上的中线，所以$AE = BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
$\triangle EBC$的周长为$BC + BE+EC$，$\triangle ACE$的周长为$AC + AE+EC$。
$\triangle EBC$与$\triangle ACE$的周长之差为：
$(BC + BE + EC)-(AC + AE+EC)$
$=BC + BE+EC - AC - AE - EC$
$=BC - AC$
把$BC = 4$，$AC = 3$代入得：$4 - 3=1$。
综上，
(1)中$CD$的长为$\frac{12}{5}$；
(2)中$\triangle EBC$与$\triangle ACE$的周长之差为$1$。

25. (本小题满分8分)
如图，在$\triangle ABC$中，$BD$是边$AC$上的高，$\angle A = 70^{\circ}$.
(1)求$\angle ABD$的度数.
(2)$CE$平分$\angle ACB$交$BD$于点$E$，$\angle BEC = 118^{\circ}$，求$\angle ABC$的度数.

答案：
(1)
解：因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，已知$\angle A = 70^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABD=180^{\circ}-\angle A - \angle ADB=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}=20^{\circ}$。
(2)
解：因为$\angle BEC = 118^{\circ}$，所以$\angle DEC=180^{\circ}-\angle BEC = 180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}$。
在$\triangle DEC$中，$\angle EDC = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle DCE=180^{\circ}-\angle DEC-\angle EDC=180^{\circ}-62^{\circ}-90^{\circ}=28^{\circ}$。
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACB = 2\angle DCE=2×28^{\circ}=56^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle ACB=180^{\circ}-70^{\circ}-56^{\circ}=54^{\circ}$。
综上，答案为：
(1)$20^{\circ}$；
(2)$54^{\circ}$。