《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

24. (本小题满分7分)
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB=4 cm$，动点$P$，$Q$同时从$A$，$B$两点出发，分别在边$AB$，$BC$上匀速移动，它们的速度分别为$v_P=2 cm/s$，$v_Q=1 cm/s$，当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动，设点$P$的运动时间为$t s$. 当$t$为何值时，$\triangle PBQ$为等边三角形？

答案： 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 4cm$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，则$BC=\frac{1}{2}AB = 2cm$，
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}cm$。
因为点$P$的速度$v_P = 2cm/s$，运动时间为$t s$，所以$AP = 2t cm$。
又因为$AB = 4cm$，所以$BP=(4 - 2t)cm$。
因为点$Q$的速度$v_Q = 1cm/s$，运动时间为$t s$，所以$BQ = t cm$。
若$\triangle PBQ$为等边三角形，则$BP = BQ$，即$4 - 2t=t$。
移项可得：$3t = 4$，
解得$t=\frac{4}{3}$。
当点$P$到达点$B$时，运动时间$t=\frac{AB}{v_P}=\frac{4}{2}=2s$，$t = \frac{4}{3}s$在$0\lt t\leq2$范围内。
综上，当$t = \frac{4}{3}s$时，$\triangle PBQ$为等边三角形。