《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

22. (本小题满分7分)
已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，且$b$，$c$满足$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，$a$为方程$|x - 4| = 2$的解.求$\triangle ABC$的周长，并判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 因为$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，且$(b - 2)^2 \geq 0$，$|c - 3| \geq 0$，所以$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$，解得$b = 2$，$c = 3$。
方程$|x - 4| = 2$的解为$x - 4 = 2$或$x - 4 = -2$，即$x = 6$或$x = 2$，所以$a = 6$或$a = 2$。
当$a = 6$时，$b = 2$，$c = 3$，因为$2 + 3 = 5 ＜ 6$，不满足三角形三边关系，舍去；当$a = 2$时，$b = 2$，$c = 3$，满足$2 + 2 ＞ 3$，$2 + 3 ＞ 2$，$2 + 3 ＞ 2$，能构成三角形，故$a = 2$。
$\triangle ABC$的周长为$2 + 2 + 3 = 7$。
因为$a = b = 2$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
综上，$\triangle ABC$的周长为$7$，是等腰三角形。

23. (本小题满分7分)
如图，在$Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$.若$\angle A = 40^{\circ}$，$\triangle ABC$的外角$\angle CBD$的平分线$BE$交$AC$的延长线于点$E$.

(1)求$\angle CBE$的度数.
(2)过点$D$作$DF // BE$，交$AC$的延长线于点$F$.求$\angle F$的度数.

答案：
(1)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$。
根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle ABC=90^{\circ}-\angle A = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$\angle CBD$是$\triangle ABC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle CBD=\angle A + \angle ACB=40^{\circ}+90^{\circ}=130^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle CBD$，所以$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CBD=\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$。
(2)
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CBE = 65^{\circ}$，在$\triangle BCE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle CEB=180^{\circ}-\angle ACB - \angle CBE=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$DF// BE$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle F=\angle CEB = 25^{\circ}$。
综上，答案为：
(1)$\angle CBE = 65^{\circ}$；
(2)$\angle F = 25^{\circ}$。