《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

25. (本小题满分9分)
如图，$E$是$\angle AOB$平分线上的一点，$EC\perp OA$，$ED\perp OB$，垂足分别是$C$，$D$，连接$CD$.
求证：(1)$\angle EDC=\angle ECD$.
(2)$OC=OD$.
(3)$OE$是线段$CD$的垂直平分线.

答案：
(1)
∵E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠EDC=∠ECD（等边对等角）。
(2)
∵EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠EDO=∠ECO=90°，
在Rt△EDO和Rt△ECO中，
∵EO=EO，ED=EC，
∴Rt△EDO≌Rt△ECO（HL），
∴OC=OD。
(3)
∵OC=OD，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
∵EC=ED，
∴点E在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是线段CD的垂直平分线。

26. (本小题满分8分)
如图，$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，$D$是$AB$上一点，过点$D$作$DE\perp BC$，且$DE$交$BC$于点$E$，交$CA$的延长线于点$F$.

(1)求证：$\triangle ADF$是等腰三角形.
(2)若$\angle B=60^{\circ}$，$BD=4$，$AD=2$，求$EC$的长.

答案：
(2)4