《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

27. (本小题满分12分)
(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：$x^{2} + 4x + 4 =$$(x + 2)^{2}$，$16x^{2} + 24x + 9 =$$(4x + 3)^{2}$，$9x^{2} - 12x + 4 =$$(3x - 2)^{2}$.
(2)观察以上三个多项式的系数，可以发现$4^{2} = 4 × 1 × 4$，$24^{2} = 4 × 16 × 9$，$(-12)^{2} = 4 × 9 × 4$，于是小明猜测：若多项式$ax^{2} + bx + c(a ＞ 0)$是完全平方式，则实数系数$a$，$b$，$c$一定存在某种关系.
①请你用数学式子表示$a$，$b$，$c$之间的关系.
②解答问题：若多项式$x^{2} - 2(m - 3)x + (10 - 6m)$是一个完全平方式，求$m$的值.

答案：
(1)
$x^{2} + 4x + 4=(x + 2)^{2}$；
$16x^{2} + 24x + 9=(4x + 3)^{2}$；
$9x^{2} - 12x + 4=(3x - 2)^{2}$。
(2)
①$b^{2}=4ac$。
②因为多项式$x^{2} - 2(m - 3)x + (10 - 6m)$是一个完全平方式，且$a = 1$，$b=-2(m - 3)$，$c = 10 - 6m$，根据$b^{2}=4ac$可得：
$[-2(m - 3)]^{2}=4×1×(10 - 6m)$
$4(m - 3)^{2}=4(10 - 6m)$
$(m - 3)^{2}=10 - 6m$
$m^{2}-6m + 9=10 - 6m$
$m^{2}=1$
解得$m=\pm1$。