《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

27. (本小题满分9分)
已知$\triangle ABD$，$\triangle ACE$都是等边三角形.
(1)如图①，连接$BC$，$BE$，$DC$，求证：$\triangle ABE\cong\triangle ADC$.
(2)若$\angle ACD=15^{\circ}$，求$\angle AEB$的度数.
(3)如图②，当$\triangle ABD$与$\triangle ACE$的位置发生变化，使$C$，$E$，$D$三点在同一条直线上时，求证：$AC// BE$.

答案：
(1)证明：
∵△ABD，△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°．
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．
在△ABE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ \angle BAE=\angle DAC\\ AE=AC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS）．
(2)解：由
(1)知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD．
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°．
(3)证明：
∵△ABD，△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°．
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ \angle BAE=\angle DAC\\ AE=AC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠AEB=∠ACD．
∵△ACE是等边三角形，
∴∠ACD=∠ACE=60°，
∴∠AEB=60°．
∵∠CAE=60°，
∴∠AEB=∠CAE，
∴AC//BE．