《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷八年级数学上册人教版》

27. (本小题满分10分)
在△ABC中，AB = AC，D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD = AE，∠DAE = ∠BAC，连接CE.
(1)如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC = 90°，则∠BCE =90°.
(2)设∠BAC = α，∠BCE = β.
如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由. 当点D在射线BF和CG上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

答案：
(1)
因为$\angle BAC = \angle DAE$，$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$，$\angle DAE = \angle EAC+\angle DAC$，
所以$\angle BAD=\angle EAC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAE$，$AD = AE$，
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
所以$\angle ABD=\angle ACE$。
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
则$\angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=\angle ACB+\\ \angle ABD = 90^{\circ}$。
(2)
当点$D$在线段$BC$上移动时：
因为$\angle BAC=\angle BAD + \angle DAC$，$\angle DAE=\angle CAE+\angle DAC$，且$\angle BAC=\angle DAE$，
所以$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAE$，$AD = AE$，
根据$SAS$定理，$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
所以$\angle ABD=\angle ACE$。
因为$\angle ABD = 180^{\circ}-\alpha-\angle ACB-\angle CAB中的（\angle BAC=\alpha$，且$AB = AC$，$\angle ABC=\angle ACB$，$\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ABD=\angle ABC$（$D$在线段$BC$上）$=\angle ACE$。
$\angle BCE=\angle ACE+\angle ACB$，$\angle ACB = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ACE=\angle ABD = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，
所以$\beta=\angle BCE = 180^{\circ}-\alpha$。
当点$D$在射线$BF$上移动时：
同理可证$\triangle ABD\cong\triangle ACE$，$\angle ABD=\angle ACE$。
$\angle ABD = 180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$。
$\angle BCE=\angle ACE-\angle ACB$，$\angle ACE=\angle ABD = 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$，$\angle ACB = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，
所以$\beta=\angle BCE=\alpha$。
当点$D$在射线$CG$上移动时：
同理可证$\triangle ABD\cong\triangle ACE$，$\angle ABD=\angle ACE$。
$\angle ABD=\angle ABC = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
$\angle BCE=\angle ACE+\angle ACB$，$\angle ACE=\angle ABD = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ACB = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，
所以$\beta=\angle BCE=\alpha$。
综上：
(1)$90^{\circ}$；
(2)当点$D$在线段$BC$上移动时，$\beta = 180^{\circ}-\alpha$；当点$D$在射线$BF$和$CG$上移动时，$\beta=\alpha$。