《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. $[2024$ 江西 宜春高二检测$]$ 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 为等差数列，首项 $a_{1} = 2$，公差 $d = 4$，前 $n$ 项和 $S_{n} = 200$，则 $n = ($ $)$

A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$

答案： 1.C 解析$:S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=2n^2=200，$
所以n=10.

2. $[2024$ 广州 天河区高二检测$]$ 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{4} + a_{5} = 24$，$S_{6} = 48$，则 $\{ a_{n}\}$ 的公差为(C)

A.$1$
B.$2$
C.$4$
D.$8$

答案： 2.C 解析:设等差数列\{a_n\}的公差为d.
$\because a_4+a_5=24,S_6=48，$
$\therefore\begin{cases}a_1+3d+a_1+4d=24,\\6a_1+\frac{6×5}{2}d=48,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-2,\\d=4.\end{cases}$
$\therefore\{a_n\}$的公差为4.
方法总结
在等差数列的两个前n项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$和S_n
$=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$中，含有$a_1,d,a_n,n,S_n$五个量，在这
五个量中，只要知道其中的三个就可以求出其他两个，
这就是常说的“知三求二”.
$a_1,d$称为等差数列的两个基本量.

3. $[2024$ 深圳 高二期末$]$ 设 $S_{n}$ 为等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{8} = 4a_{3}$，$a_{7} = - 2$，则 $a_{9} = ($ $)$

A.$- 6$
B.$- 4$
C.$- 2$
D.$2$

答案： 3.A 解析:设等差数列\{a_n\}的公差为d，
$\because S_8=4a_3,a_7=-2，$
$\therefore\begin{cases}8a_1+\frac{8×7}{2}d=4(a_1+2d),\\a_1+6d=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=10,\\d=-2.\end{cases}$
$\therefore a_9=a_1+8d=10-16=-6.$

4. $[$数学文化$]$ $[2024$ 重庆 育才中学高二期末$]$ 朱世杰所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.” 其大意为：官府陆续派遣 $1864$ 人前往修筑堤坝，第一天派出 $64$ 人，从第二天开始每天派出的比前一天多 $7$ 人. 则该问题中的 $1864$ 人全部派遣到位需要的天数为(B)

A.$9$
B.$16$
C.$18$
D.$20$

答案： 4.B 解析:根据题意设每天派出的人数组成数列\{a_n\}，
且该数列是首项$a_1=64，$公差d=7的等差数列.
设该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为n，则
$64n+\frac{n(n-1)}{2}×7=1864，$
$\rightarrow$等差数列的前n项和公式.
解得n=16(负值已舍去).

5. $[2024$ 江苏 泰州高二中期中$]$ 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n + 1} = a_{n} + d(n \in \mathbf{N}^{*},d ＜ 0)$，若 $S_{3} = 12$，$a_{3}a_{5} + 2a_{5} - 5a_{5} - 10 = 0$，则数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} =$-2n+8.

答案： 5.-2n+8 解析:由$a_{n+1}=a_n+d(n\in N^*,d＜0),$知\{a_n\}为
等差数列，公差为d.
由$S_3=12,a_3a_5+2a_3-5a_5-10=0，$
得$\begin{cases}3a_1+3d=12,\a_1+2d)(a_1+4d)+2(a_1+2d)-5(a_1+4d)-10=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1=3,\\d=1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1=6,\\d=-2.\end{cases}$
因为d＜0,所以$\begin{cases}a_1=6,\\d=-2,\end{cases}$故a_n=-2n+8.

6. $[2024$ 昆明 中高二检测$]$ 已知等差数列 $\{ a_{n}\}$，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$a_{3} + a_{4} + a_{5} = 18$，则 $S_{7} = ($ $)$

A.$3$
B.$7$
C.$21$
D.$42$

答案： 6.D 解析:由\{a_n\}是等差数列，得$a_3+a_5=2a_4，$
则$a_3+a_4+a_5=3a_4=18，$
解得$a_4=6，$
所以$S_7=\frac{7}{2}(a_1+a_7)=7a_4=7×6=42.$
方法技巧
把等差数列的前n项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$与下标和性
质相结合是解决等差数列问题的一个常用方法.

7. 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{2} + a_{4} + a_{6} = 39$，$a_{1} + a_{6} + a_{11} = 27$，则数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $9$ 项的和等于(C)

A.$297$
B.$144$
C.$99$
D.$66$

答案： 7.C 解析:(方法1)由$\begin{cases}a_2+a_4+a_6=3a_4=39,\\a_1+a_6+a_{11}=3a_4=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_4=13,\\a_6=9.\end{cases}$
所以$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(a_4+a_6)}{2}=\frac{9×(13+9)}{2}=99.$
(方法2)由$\begin{cases}a_2+a_4+a_6=3a_4=39,\\a_1+a_6+a_{11}=3a_1+15d=27,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1=19,\\d=-2.\end{cases}$
所以$S_9=9a_1+\frac{9×8}{2}d=9×19-9×8×2=99.$
点评
利用等差数列的性质能解决的问题，利用基本量法一
般都能解决，只是有时候运算量较大.

8. 已知 $\{ a_{n}\}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = \frac{\pi}{4}$，则 $\sin S_{9} = ($ $)$

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$- \frac{1}{2}$
D.$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 8.B 解析:因为\{a_n\}为等差数列，且$a_2+a_5+a_8=\frac{\pi}{4}，$所
以$3a_5=\frac{\pi}{4}，$即$a_5=\frac{\pi}{12}，$所以$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9×2a_5}{2}$
$=9a_5=\frac{3\pi}{4}，$所以$\sin S_9=\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

9. $[2024$ 河北 衡水二中高二中期中$]$ 已知等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{1} = 2$，且 $S_{3} = S_{19}$，则 $S_{21} = ($ $)$

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$

答案： 9.A 解析$:\because S_3=S_{19}，$即$a_1+a_2+a_3=a_1+a_2+a_3+a_4+·s$
$+a_{19},\therefore a_4+a_5+·s+a_{19}=8(a_4+a_{19})=0,\therefore a_4+a_{19}=0，$
$\therefore S_{21}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+·s+a_{19}+a_{20}+a_{21}$
$=a_1+a_2+a_3+a_20+a_21$
$=a_1+2(a_4+a_{19})=a_1=2.$
点评
上述解法没有去求公差d，而是把S_n展开后利用等差
数列的性质求出$a_4+a_{19}=0，$代入所求$S_{21}$的展开式，
体现了整体思想.本题也可以由前n项和求出公差d，
然后直接求出$S_{21}.$

10. $[2024$ 辽宁 抚顺高二期末$]$ 设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{a_{8}}{a_{9}} = \frac{17}{15}$，则 $\frac{S_{15}}{S_{17}} = ($ $)$

A.$2$
B.$- 1$
C.$1$
D.$0.5$

答案： 10.C 解析$:\because\frac{a_8}{a_9}=\frac{17}{15}，$
$\therefore\frac{S_{15}}{S_{17}}=\frac{\frac{15}{2}(a_1+a_{15})}{\frac{17}{2}(a_1+a_{17})}=\frac{15a_8}{17a_9}=\frac{15}{17}×\frac{17}{15}=1.$

11. 已知等差数列 $\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$，$T_{n}$，且有 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2n}{3n + 1}$，则 $\frac{a_{7}}{b_{7}} = ($ $)$

A.$\frac{13}{23}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{13}{20}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 11.C 解析:由等差数列的性质，得$\frac{a_7}{b_7}=\frac{2a_7}{2b_7}=\frac{a_1+a_{13}}{b_1+b_{13}}$
$=\frac{\frac{a_1+a_{13}}{2}×13}{\frac{b_1+b_{13}}{2}×13}=\frac{S_{13}}{T_{13}}=\frac{2×13}{3×13+1}=\frac{13}{20}.$
知识链接
一般地，若等差数列\{a_n\},\{b_n\}的前n项和分别为S_n，
T_n，则$\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}.[$注意$]\frac{a_n}{b_n}\neq\frac{S_n}{T_n}$

12. $[2023$ 杭州 学军 中学高二检测$]$ 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 和 $\{ b_{n}\}$ 均为等差数列，前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$，$T_{n}$，且满足：$\forall n \in \mathbf{N}^{*}$，$\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 3}{2n + 1}$，则 $\frac{a_{1} + a_{6} + a_{14} + a_{19}}{b_{5} + b_{8} + b_{12} + b_{15}} =$$\frac{22}{39}$.

答案： $12.\frac{22}{39} $解析:由等差数列的性质，得
$\frac{a_1+a_6+a_{14}+a_{19}}{b_5+b_8+b_{12}+b_{15}}=\frac{4a_{10}}{4b_{10}}=\frac{19a_{10}}{19b_{10}}=\frac{S_{19}}{T_{19}}=\frac{22}{39}$
点评
本题将等差数列的两个性质相结合，使运算大大简化.

13. 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，首项 $a_{1} ＞ 0$，公差 $d ＜ 0$，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则点 $(n,S_{n})$ 所在的曲线 $y = f(x)$ 的图象可能是(C)

答案： 13.C 解析:由$S_n=na_1+\frac{1}{2}n(n-1)d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$
及d＜0,a_1＞0，知$\frac{d}{2}$＜0,a_1-\frac{d}{2}＞0，图象开口向下，对称
轴为直线$n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{d}＞0，$故选C.

14. 已知等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若 $S_{3} = S_{10}$，$S_{6} = S_{k}(k \neq 6)$，则 $k$ 的值是(B)

A.$5$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

答案： 14.B 解析:设等差数列\{a_n\}的公差为$d.\because$等差数列
\{a_n\}的前n项和$S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$可看作是关于n
的二次函数且$S_n=S_{10},\therefore$对称轴方程为$n=\frac{3+10}{2}=$
$\frac{13}{2}.$又$\because S_6=S_k,\therefore\frac{6+k}{2}=\frac{13}{2}，$解得k=7.

15. 已知 $\{ a_{n}\}$ 是各项不全为零的等差数列，前 $n$ 项和是 $S_{n}$，且 $S_{2000} = S_{2040}$，若 $S_{m} = S_{2023}$，则正整数 $m =$2017.

答案： 15.2017 解析:设等差数列\{a_n\}的公差为d，
则$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d，$即$S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n.$
将S_n看成关于n的二次函数，
由二次函数图象的对称性及$S_{2000}=S_{2040},S_m=S_{2023}，$
可得$\frac{2000+2040}{2}=\frac{2023+m}{2}，$解得m=2017.
延伸
等差数列前n项和公式的函数特征
1.当d=0时，等差数列的通项$a_n=a_1$是一个常数函
数，此时该等差数列是常数列，其前n项和$S_n=na_1$是
关于n的一次函数.
2.当$d\neq0$时，等差数列的通项$a_n=a_1+(n-1)d=dn+a_1-d$是关于n的一次函数，斜率为公差d，前n项
和$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$是关于n
的二次函数，且常数项为0.