《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. $[2024$ 辽宁阜新高二期末$]$ 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{1} + 3a_{7} + a_{13} = 120$，则 $3a_{9} - a_{13}$ 的值为(D)

A.6
B.12
C.24
D.48

答案： 1.D 解析：(方法1)由题意，$a_1+3a_4+a_{13}=5a_7=120$，$\therefore a_7=24$，$\therefore3a_9-a_{13}=3(a_1+8d)-(a_1+12d)=2a_1+12d=2a_7=48$。
(方法2)设$\{ a_n\}$的公差为$d$，$\because a_1+3a_4+a_{13}=120$，$\therefore a_1+3(a_1+6d)+a_1+12d=120$，$\therefore a_1+6d=24$，$\therefore3a_9-a_{13}=3(a_1+8d)-a_1-12d=2(a_1+6d)=2×24=48$。

2. $[2024$ 安徽合肥高二中$]$ 在项数为 $m$ 的等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中，其前 $3$ 项的和为 $12$，最后 $3$ 项的和为 $288$，所有项的和为 $950$，则 $m = ($ )

A.16
B.17
C.19
D.21

答案： 2.C 解析：由题意知$a_1+a_2+a_3=12$，$a_m+a_{m-1}+a_{m-2}=288$，由等差数列的性质可得$a_1+a_m=a_2+a_{m-1}=a_3+a_{m-2}$，所以$3(a_1+a_m)=300$，所以$a_1+a_m=100$。因为$S_m=\frac{m(a_1+a_m)}{2}=950$，所以$m=19$。故选C。

3. $[2024$ 河南周口高二期末$]$ 设等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $S_{3} = 16,S_{6} = 8$,则 $S_{12} = ($ )

A.$-50$
B.$-60$
C.$-70$
D.$-80$

答案： 3.D 解析：由等差数列的性质可知，$S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$，$S_{12}-S_9$成等差数列，且该数列的公差为$(S_6-S_3)-S_3=-8-16=-24$，则$S_9-S_6=(S_6-S_3)-24=-32$，所以$S_{12}-S_9=(S_9-S_6)-24=-56$，因此$S_{12}=S_9+(S_9-S_6)+(S_9-S_6)+(S_{12}-S_9)=-80$。故选D。
在等差数列中，$S_m$，$S_{2m}$，$S_{3m}$不一定是等差数列，$S_m$，$S_{2m}-S_m$，$S_{3m}-S_{2m}$一定是等差数列。

4. $[2024$ 河南洛阳高二检测$]$ 若数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $\sqrt{a_{n + 1}} = \sqrt{a_{n}} + 4$ 且 $a_{1} = 1,a_{n} ＞ 0$,则 $a_{n} = ($ )

A.$4n - 1$
B.$4n - 3$
C.$(4n - 1)^{2}$
D.$(4n - 3)^{2}$

答案： 4.D 解析：$\because\sqrt{a_{n+1}}=\sqrt{a_n}+4$且$a_1=1,a_n＞0$，
$\therefore$数列$\{\sqrt{a_n}\}$是以1为首项，4为公差的等差数列，
$\therefore\sqrt{a_n}=1+4(n-1)=4n-3$，$\therefore a_n=(4n-3)^2$。

5. $[2024$ 辽宁沈阳东北育才学校高二期末$]$ 若等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，记 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$,则(C)

A.数列 $\{ b_{n}\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列
B.数列 $\{ b_{n}\}$ 是公差为 $2d$ 的等差数列
C.数列 $\{ a_{n} + b_{n}\}$ 是公差为 $\frac{3}{2}d$ 的等差数列
D.数列 $\{ a_{n} - b_{n}\}$ 是公差为 $\frac{3}{2}d$ 的等差数列

答案： 5.C 解析：根据题意，得$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}· d$，则$b_n=\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}dn+a_1-\frac{1}{2}d$对应的函数是一次函数，所以数列$\{b_n\}$是公差为$\frac{1}{2}d$的等差数列，故选项A，B错误；
由$a_n+b_n=\frac{3}{2}dn+2a_1-\frac{3}{2}d$对应的函数是一次函数，得数列$\{a_n+b_n\}$是公差为$\frac{3}{2}d$的等差数列，选项C正确；
由$a_n-b_n=\frac{1}{2}dn-\frac{1}{2}d$对应的函数是一次函数，得数列$\{a_n-b_n\}$是公差为$\frac{1}{2}d$的等差数列，故选项D错误。
等差数列中$\{\frac{S_n}{n}\}$问题的求解方法
根据等差数列的性质可知数列$\{\frac{S_n}{n}\}$仍为等差数列，则可运用等差数列的性质求解。另外可由前$n$项公式将条件转化为$a_1$，$d$的关系式，再进行求解。

6. 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 2$，当 $n \geqslant 2$ 时，$a_{n} = 2a_{n - 1} + (n - 1) · 2^{n}$，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$，则数列 $\{ b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = ($ )

A.$\frac{n^{2} - n + 2}{2}$
B.$\frac{n^{2} + n - 1}{2}$
C.$\frac{n^{2} - 2n + 3}{2}$
D.$\frac{n^{2} + 2n - 2}{2}$

答案： 6.A 解析：$\because$在数列$\{ a_n\}$中，$a_1=2$，当$n\geq2$时，$a_n=2a_{n-1}+(n-1)·2^n$，$\therefore\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+n-1$。
$\because b_n=\frac{a_n}{2^n}$，$\therefore$当$n\geq2$时，$b_n-b_{n-1}=n-1$，且$b_1=1$，
$\therefore b_n=(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+·s+(b_2-b_1)+b_1$
$=(n-1)+(n-2)+·s+1+1=\frac{(n-1)[1+(n-1)]}{2}+1$
$=\frac{n^2-n+2}{2}$，
$b_1=1$也符合此式，$\therefore b_n=\frac{n^2-n+2}{2}$

7. $[2024$ 上海师大附中高二中$]$ 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》商功一卷中出现了如图所示的形状，后人称为 “三角垛”$($如图所示的是一个 $4$ 层的三角垛$)$，“三角垛” 最上层有 $1$ 个球，第二层有 $3$ 个球，第三层有 $6$ 个球，$·s$，设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$，则下列结论正确的是(D)


A.$a_{n} - a_{n - 1} = n + 1(n \geqslant 2)$
B.$S_{7} = 85$
C.$a_{98} = \frac{99 × 100}{2}$
D.$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ·s + \frac{1}{a_{2022}} = \frac{4044}{2023}$

答案： 7.D 解析：由题意得当$n\geq2$时，$a_1=1$，$a_2-a_1=2$，$a_3-a_2=3$，$·s$，$a_n-a_{n-1}=n$，以上$n$个式子累加可得$a_n=1+2+·s+n=\frac{n(n+1)}{2}(n\geq2)$，故A错误；
由题得$a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=6$，$a_4=10$，$a_5=15$，$a_6=21$，$a_7=28$，得$S_7=a_1+a_2+·s+a_7=1+3+6+10+15+21+28=84$，故B错误；
$a_{98}=\frac{98×99}{2}$，故C错误；
由$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，得$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+·s+\frac{1}{a_{2022}}=2×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+·s+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023})=2×(1-\frac{1}{2023})=\frac{4044}{2023}$，故D正确。

8. 若数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3},a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2(2n + 1)a_{n} + 1}$，则数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $2023$ 项和 $S_{2023} = ($ )

A.$\frac{2022}{2023}$
B.$\frac{2023}{2024}$
C.$\frac{4042}{4043}$
D.$\frac{4046}{4047}$

答案： 8.D 解析：因为$a_{n+1}=\frac{a_n}{2(2n+1)a_n+1}$，
所以$\frac{1}{a_{n+1}}=2(2n+1)+\frac{1}{a_n}$，即$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=4n+2$，
所以数列$\{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}\}$是首项为$\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}=6$，公差为4的等差数列。
设数列$\{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}\}$的前$n$项和为$T_n$，
则$T_{n-1}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-·s-\frac{1}{a_1}=$
$=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}(n\geq2)$。
根据等差数列的前$n$项和公式得
$T_{n-1}=\frac{[6+4(n-1)+2](n-1)}{2}=2n^2-2(n\geq2)$，
所以$\frac{1}{a_n}=2n^2-\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}·(2n+1)(2n-1)$，
所以$a_n=\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}(n\geq2)$。
又$a_1=\frac{2}{3}$，满足上式，
故$a_n=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
所以$a_1=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$，$a_2=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，$a_3=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$，$·s$，$a_{n-1}=\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$，$a_n=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
所以$S_n=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$，
所以$S_{2023}=\frac{2×2023}{2×2023+1}=\frac{4046}{4047}$

9. $[$多选题$]$ $[2023$ 福建龙岩连城一中高二检测$]$ 已知两个等差数列 $\{ a_{n}\}$ 和 $\{ b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3n + 39}{n + 3}$，则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 为整数的正整数 $n$ 的值有(ACD)

A.2
B.3
C.4
D.14

答案： 9.ACD 解析：由题意可得
$\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{2}÷\frac{(2n-1)(b_1+b_{2n-1})}{2}=\frac{(2n-1)a_n}{(2n-1)b_n}=\frac{a_n}{b_n}$
则$\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{3(2n-1)+39}{(2n-1)+3}=\frac{3n+18}{n+1}=3+\frac{15}{n+1}$
由$\frac{a_n}{b_n}$为整数，可知$n+1$为15的正约数，
因此，正整数$n$的可能取值有2,4,14。

10. $[$多选题$]$ $[2024$ 湖南岳阳教研联盟高二中$]$ 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 12n + 1$，以下说法正确的有(BCD)

A.数列 $\{ a_{n}\}$ 是等差数列
B.当且仅当 $n = 6$ 时，$S_{n}$ 取得最小值
C.若 $S_{3} = S_{m}(m ＞ 3)$，则 $m = 9$
D.若 $S_{n} ＞ 0$，则 $n$ 的最小值为 $12$

答案： 10.BCD 解析：当$n=1$时，$a_1=S_1=1^2-12+1=-10$；
当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n-13$，则$a_3=-9$，$a_4=-7$。
由于$a_3a_4=2\neq1=a_2-a_1$，故A错误；
$S_n=n^2-12n+1=(n-6)^2-35$，所以当且仅当$n=6$时，$S_n$取得最小值，故B正确；
若$S_3=S_m(m＞3)$，则$9-36+1=m^2-12m+1$，解得$m=9(m=3$舍去$)$，故C正确；
令$n^2-12n+1＜0$，由$n\in N^*$，得$n＜12$，即当$n＜12$时，$S_n＜0$，而当$n\geq12$时，$S_n＞0$，所以若$S_n＞0$，则$n$的最小值为12，故D正确。

11. $[2023$ 浙江温州十校联合体高二期末$]$ 记等差数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{1} = \sqrt{5},a_{2} + a_{2021} = 0$,则 $S_{2022} = $0$$; 当 $S_{n}$ 取得最大值时，$n = $1011$$.

答案： 11.0 1011 解析：由$\{a_n\}$是等差数列，得
$S_{2022}=\frac{2022}{2}(a_1+a_{2022})=1011(a_2+a_{2021})=0$。
又$a_1=\sqrt{5}＞0$，$a_2+a_{2021}=a_{1011}+a_{1012}=0$，
所以$\{a_n\}$是首项大于0的递减数列，且$a_{1011}＞0$，$a_{1012}＜0$，
所以当$S_n$取得最大值时，$n=1011$。

12. 在项数为 $2n + 1$ 的等差数列中，所有奇数项的和为 $165$，所有偶数项的和为 $150$，则 $n = $10.

答案： 12.10 解析：(方法1)在等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，设奇数项的和为$S_奇=\frac{(a_1+a_{2n+1})(n+1)}{2}=165$，数列前$2n+1$项的和为$S_{2n+1}=\frac{(a_1+a_{2n+1})(2n+1)}{2}=165+150=315$，
解得$n=10$。
(方法2)在项数为$2n+1$的等差数列中，$S_奇-S_偶=a_{n+1}=165-150=15$，
由等差数列前$n$项和的性质$S_{2n+1}=(2n+1)a_{n+1}$，
所以$2n+1=\frac{315}{15}$，解得$n=10$。
等差数列中前奇数项和的求法
等差数列中前奇数项和的求法一般有两种，一种是抓基本量，通过列关于首项和公差的方程组求解，另一种是利用等差数列的前$n$项和的性质求解，即利用公式$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$求解，第二种方法较第一种方法更简单。

13. 若数列 $\{ a_{n}\}$ 是正项数列，且 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + ·s + \sqrt{a_{n}} = n^{2} + 3n(n \in \mathbf{N}^{*})$，则 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + ·s + \frac{a_{n}}{n + 1} = $$2n^2+6n$$$.

答案： 13.$2n^2+6n$ 解析：令$n=1$，得$\sqrt{a_1}=4$，$\therefore a_1=16$。
当$n\geq2$时，$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+·s+\sqrt{a_{n-1}}=(n-1)^2+3(n-1)$，
与已知式相减得$\sqrt{a_n}=n^2+3n-(n-1)^2-3(n-1)=2n+2$，
$\therefore a_n=4(n+1)^2$。
又$\because$当$n=1$时，$a_1$满足上式，
$\therefore a_n=4(n+1)^2(n\in N^*)$，$\therefore\frac{a_n}{n+1}=\frac{4(n+1)^2}{n+1}=4n+4$。
$\therefore\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+·s+\frac{a_n}{n+1}=\frac{n(8+4n+4)}{2}=2n^2+6n$。

14. $[$新定义$]$ $[2024$ 北京大兴区高二检测$]$ 定义 “等积数列”：如果一个数列从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积. 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 是等积数列，且 $a_{1} = 2$，公积为 $-6$，则 $a_{3} = $$$; 数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = $$$.

答案： 14.2 $\begin{cases}-\frac{n}{2},n为偶数,\\-n+5,n为奇数.\end{cases}$
解析：由数列$\{ a_n\}$是等积数列
且$a_1=2$，公积为-6，可得$a_2=-3$，$a_3=2$，$a_4=-3$，$·s$，
则前$n$项和$S_n=2+(-3)+2+(-3)+·s$.
当$n$为偶数时，有$\frac{n}{2}$个2，$\frac{n}{2}$个-3，
$\therefore S_n=\frac{2n-3n}{2}=-\frac{n}{2}$。
当$n$为奇数时，有$\frac{n+1}{2}$个2，$\frac{n-1}{2}$个-3，
$\therefore S_n=2·\frac{n+1}{2}-3·\frac{n-1}{2}=-\frac{n+5}{2}$
$\therefore S_n=\begin{cases}-\frac{n}{2},n为偶数,\\-n+5,n为奇数.\end{cases}$