《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 如图所示的图象中有一个是函数$f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x^{ 3 } $+ $a x ^ { 2 } + ( a ^ { 2 } - 1 ) x + 1 ( a \in \mathbf { R } , a \neq 0 )$的导函数$f ^ { \prime } ( x )$的图象，则$f(-1)=($　　$)$


A.$\frac { 1 } { 3 }$
B.$-\frac { 1 } { 3 }$
C.$\frac { 7 } { 3 }$
D.$-\frac { 1 } { 3 }或\frac { 5 } { 3 }$

答案： 1.B 解析：$\because f'(x)=x^{2}+2ax+a^{2}-1$，$\therefore$导函数$f'(x)$的图象开口向上.又$\because a \neq 0$，$\therefore f'(x)$不是偶函数，其图象不关于$y$轴对称，$\therefore$其图象必为题图③.由图象特征知$f'(0)=0$，且对称轴在$y$轴右侧，$\therefore a=-1$，
$\therefore f(-1)=-\frac{1}{3}-1+1=-\frac{1}{3}$.

2. $[$双流中学高二检测$]$设函数$y = x \sin x + \cos x$图象上点$( x$${ 0 } , y$${ 0 } )$处切线的斜率为$k$，记$k = g ( x$${ 0 } )$，则函数$g ( x ) , x \in [ - \pi , \pi ]$的图象大致为$($　　$)$

答案： 2.A 解析：$\because y=x\sin x+\cos x$，
$\therefore y'=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$，
$\left.y'\right|_{x=x_{0}}=x_{0}\cos x_{0}=k=g(x_{0})$.
由函数的性质可知，$g(x)$为奇函数，排除B,C.
又当$0＜x＜\frac{\pi}{2}$时，$\cos x＞0$，$\therefore x\cos x＞0$，排除D.

3. $[2024$河南$]$假设某地在$20$年间的年均通货膨胀率为$5\%$，物价$p($单位：元$)$与时间$t($单位：年$)$之间的关系为$p ( t ) = p$${ 0 } ( 1 + 5 \% ) ^ { t }$，其中$p$${ 0 }$为$t = 0$时的物价.假定某种商品的$p$${ 0 } = 1$，那么在第$10$个年头，这种商品的价格上涨的速度大约为$($精确到$0.001$元$/$年$)$(A)
附：$1 . 0 5 ^ { 1 0 } \approx 1 . 6 2 8 9$，$1 . 0 5 ^ { 9 } \approx 1 . 5 5 1 3$，$\ln 1 . 0 5 \approx 0 . 0 4 8 8$.

A.$0.079$元$/$年
B.$0.076$元$/$年
C.$1.629$元$/$年
D.$1.551$元$/$年

答案： 3.A 解析：由题意知$p(t)=(1+5\%)^{t}$，
$\therefore p'(t)=(1+5\%)^{t}\ln(1+5\%)$，
当$t=10$时，这种商品价格上涨的速度为$p'(10)=1.05^{10} × \ln 1.05 \approx 1.6289 × 0.0488 \approx 0.079$.

4. $[$安溪第八中学高二期中$]$如图，$y = f ( x )$是可导函数，直线$l$：$y = k x + 2$是曲线$y = f ( x )$在$x = 3$处的切线，令$g ( x ) = x f ( x ) , g ^ { \prime } ( x )$是$g ( x )$的导函数，则$g ^ { \prime } ( 3 ) - 3 f ^ { \prime } ( 3 ) = ($　　$)$


A.$1$
B.$0$
C.$2$
D.$4$

答案： 4.A 解析：因为点$(3,1)$在函数$y=f(x)$的图象上，
所以$f(3)=1$.
对函数$g(x)=xf(x)$求导，得$g'(x)=f(x)+xf'(x)$，
所以$g'(3)-3f'(3)=f(3)=1$.

5. $[2023$河南南阳高二联考$]$已知函数$f(x)$为奇函数，当$x \geqslant 0$时，$f ( x ) = g ( x )$，函数$g ( x )$的导函数为$g ^ { \prime } ( x )$，且$g ( x ) = 2 x g ^ { \prime } ( 1 ) + x ^ { 2 }$，则不等式$f ( x ) ＞ 0$的解集为$($　　$)$

A.$( - 4 , 0 ) \cup ( 4 , + \infty )$
B.$( - 2 , 0 ) \cup ( 2 , + \infty )$
C.$( - 4 , 0 ) \cup ( 0 , 4 )$
D.$( - 2 , 0 ) \cup ( 0 , 2 )$

答案： 5.A 解析：因为$g(x)=2xg'(1)+x^{2}$，
所以$g'(x)=2g'(1)+2x$，
所以$g'(1)=2g'(1)+2$，所以$g'(1)=-2$，
所以$g(x)=-4x+x^{2}$.
因为当$x \geq 0$时，$f(x)=g(x)$，
所以当$x \geq 0$时，$f(x)=x^{2}-4x$，由$x^{2}-4x＞0$，可得$x＞4$.
因为$f(x)$为奇函数，
所以当$x＜0$时，由$f(x)＞0$，可得$-4＜x＜0$.
故不等式$f(x)＞0$的解集为$(-4,0)\cup(4,+\infty)$.

6. $[2024$北京东城区高二检测$]$已知$f ( x )$是五次多项式，且存在实数$a$，使得$f ( a ) = f ^ { \prime } ( a ) = f ^ { \prime \prime } ( a ) = f ^ { \prime \prime \prime } ( a ) = f ^ { \prime V } ( a ) = 0$($f ^ { \prime \prime } ( a )$是$f ^ { \prime } ( a )$的导数$)$，依此类推$)$，则关于$f ( x )$，以下说法正确的是$($　　$)$

A.$f ( x )$一定是$( x - a ) ^ { 5 }$
B.有无数个满足条件的$f ( x )$
C.有且仅有$6$个满足条件的$f ( x )$
D.以上说法均不对

答案： 6.B 解析：根据题意可构造$f(x)$的表达式为$f(x)=A(x-a)^{5}+B(x-a)^{4}+C(x-a)^{3}+D(x-a)^{2}+E(x-a)$.
因为$f(x)$为五次多项式，所以$A \neq 0$.
又因为$f'(a)=f''(a)=f'''(a)=0$，
所以$B,C,D,E$都为$0$，所以$f(x)=A(x-a)^{5}(A \neq 0)$.

7. 数列$\{ c$${ n } \}$为等比数列，其中$c$${ 1 } = 2$，$c$${ 8 } = 4$，$f ( x ) = x ( x - c$${ 1 } ) ( x - c$${ 2 } ) ·s ( x - c$${ 8 } )$，$f ^ { \prime } ( x )$为函数$f ( x )$的导函数，则$f ^ { \prime } ( 0 ) = ($　　$)$

A.$0$
B.$2 ^ { 6 }$
C.$2 ^ { 9 }$
D.$2 ^ { 1 2 }$

答案： 7.D 解析：$\{c_{n}\}$为等比数列，$c_{1}=2$，$c_{8}=4$，
$\therefore c_{1}c_{2}·s c_{8}=8^{4}=2^{12}$.
$\because f'(x)=(x-c_{1})(x-c_{2})·s(x-c_{8})+x[(x-c_{1})(x-c_{2})·s·(x-c_{8})]'$，$\therefore f'(0)=c_{1}c_{2}·s c_{8}=2^{12}$.

8. 设曲线$f ( x ) = x ^ { n + 1 } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$在点$( 1 , 1 )$处的切线与$x$轴的交点的横坐标为$x$${ n }$，则$x$${ 1 } · x$${ 2 } · x$${ 3 } · x$${ 4 } ·s · x$${ 2 0 1 7 } = ($　　$)$

A.$\frac { 2 0 1 6 } { 2 0 1 7 }$
B.$\frac { 1 } { 2 0 1 7 }$
C.$\frac { 2 0 1 7 } { 2 0 1 8 }$
D.$\frac { 1 } { 2 0 1 8 }$

答案： 8.D 解析：由$f(x)=x^{n+1}$得$f'(x)=(n+1)x^{n}$，$f'(1)=n+1$，则曲线在点$(1,1)$处的切线方程为$y-1=(n+1)(x-1)$.
令$y=0$得$x_{n}=\frac{n}{n+1}$，故$x_{1} · x_{2} · x_{3} · x_{4} ·s ·s x_{2017}=\frac{1}{2} ×\frac{2}{3} × ·s × \frac{2017}{2018}=\frac{1}{2018}$.

9. $[$多选题$]$已知函数$f ( x ) = A \sin ( \omega x + \varphi ) ( A ＞ 0 , \omega ＞ 0 , | \varphi | ＜ \frac { \pi } { 2 } )$的图象如图所示，令$g ( x ) = f ( x ) + f ^ { \prime } ( x )$，则下列关于函数$g ( x )$的说法正确的是$($　　$)$


A.函数$g ( x )$的图象的对称轴方程为$x = - \frac { \pi } { 1 2 } + k \pi ( k \in \mathbf { Z } )$
B.函数$g ( x )$的最大值为$2$
C.函数$g ( x )$的图象上存在点$P$使得在该点处的切线与直线$l$：$y = 3 x - 1$平行
D.方程$g ( x ) = 2$的两个不同的解分别为$x$${ 1 } , x$${ 2 }$，则$| x$${ 1 } - x$${ 2 } |$的最小值为$\frac { \pi } { 2 }$

答案： 9.AD 解析：根据函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$的图象知$A=2$，$\frac{T}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，所以$T=2\pi$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=1$.
根据五点作图法知，当$x=\frac{\pi}{6}$时，$\omega x+\varphi=\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，
$k \in Z$，即$\varphi=\frac{\pi}{3}+2k\pi$，$k \in Z$.
因为$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{3}$，所以$f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})$，
所以$f'(x)=2\cos(x+\frac{\pi}{3})$，所以$g(x)=f(x)+f'(x)$
$=2\sin(x+\frac{\pi}{3})+2\cos(x+\frac{\pi}{3})$
$=2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\sin(x+\frac{7\pi}{12})$.
令$x+\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k \in Z$，解得$x=-\frac{\pi}{12}+k\pi$，$k \in Z$，
所以函数$g(x)$图象的对称轴方程为$x=-\frac{\pi}{12}+k\pi$，$k \in Z$，故A正确.
当$x+\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k \in Z$时，函数$g(x)$取得最大值$2\sqrt{2}$，故B错误.
$g'(x)=2\sqrt{2}\cos(x+\frac{7\pi}{12})$，因为$g'(x) \leq 2\sqrt{2}＜3$，所以不存在点$P$使得在该处的切线与直线$l:y=3x-1$平行，故C错误.
方程$g(x)=2$，即$2\sqrt{2}\sin(x+\frac{7\pi}{12})=2$，所以$\sin(x+\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$x+\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+2k\pi$，$k \in Z$或$x+\frac{7\pi}{12}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$，$k \in Z$，
所以当方程的两个不同的解分别为$x_{1}$，$x_{2}$时，$|x_{1}-x_{2}|$的最小值为$\frac{\pi}{2}$，故D正确.