《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024陕西汉中高二期末]下列函数的求导运算中，错误的是(C)

A.$(x^{2}+3e^{x})^{\prime}=2x + 3e^{x}$
B.$(2\sin x - 3)^{\prime}=2\cos x$
C.$(\frac{1}{\ln x})^{\prime}=x$
D.$(x\cos x)^{\prime}=\cos x - x\sin x$

答案： 1.C 解析:选项$A,(x^{2}+3e^{x})^{\prime}=2x+3e^{x},$正确;
选项$B,(2\sin x - 3)^{\prime}=2\cos x,$正确;
选项$C,(\frac{1}{\ln x})^{\prime}=\frac{-1}{x(\ln x)^{2}}=-\frac{1}{x(\ln x)^{2}},$错误;
选项$D,(x\cos x)^{\prime}=\cos x - x\sin x,$正确。

2. [2024黑龙江双鸭山市一中高二期末]已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+f^{\prime}(1)x^{2}+3x + 10$，则$f(3)=($ )

A.$-1$
B.$0$
C.$-8$
D.$1$

答案： 2.C 解析:因为函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+f^{\prime}(1)x^{2}+3x + 10,$
所以$f^{\prime}(x)=x^{2}+2f^{\prime}(1)x + 3,$
所以$f^{\prime}(1)=1 + 2f^{\prime}(1)+3,$解得$f^{\prime}(1)= - 4,$
所以$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-4x^{2}+3x + 10,$
所以$f(3)=\frac{1}{3}×3^{3}-4×3^{2}+3×3 + 10 = - 8。$

3. 若函数$f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$，则$f^{\prime}(x)=$$\frac{1 + 2\cos x}{(2+\cos x)^{2}}$.

答案： $3.\frac{1 + 2\cos x}{(2+\cos x)^{2}}$
解析$:f^{\prime}(x)=\frac{(\sin x)^{\prime}(2+\cos x)-\sin x(2+\cos x)^{\prime}}{(2+\cos x)^{2}}$
$=\frac{2\cos x+\cos^{2}x+\sin^{2}x}{(2+\cos x)^{2}}=\frac{1 + 2\cos x}{(2+\cos x)^{2}}$

4. [2023陕西延安高二期末]求下列函数的导数.
(1)$y=\ln x+\frac{1}{x}$；
(2)$y=(2x^{2}-1)(3x + 1)$；
(3)$y=x-\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$；
(4)$y=\frac{\cos x}{e^{x}}$.

答案： 4.解$:(1)y^{\prime}=(\ln x+\frac{1}{x})^{\prime}=(\ln x)^{\prime}+(\frac{1}{x})^{\prime}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}$
(2)因为$y=(2x^{2}-1)(3x + 1)=6x^{3}+2x^{2}-3x - 1,$
所以$y^{\prime}=(6x^{3}+2x^{2}-3x - 1)^{\prime}$
$=(6x^{3})^{\prime}+(2x^{2})^{\prime}-(3x)^{\prime}-(1)^{\prime}$
$=18x^{2}+4x - 3。$
(3)因为$y=x-\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=x-\frac{1}{2}\sin x,$
所以$y^{\prime}=(x-\frac{1}{2}\sin x)^{\prime}=x^{\prime}-(\frac{1}{2}\sin x)^{\prime}$
$=1-\frac{1}{2}\cos x。$
$(4)y^{\prime}=(\frac{\cos x}{e^{x}})^{\prime}=\frac{(\cos x)^{\prime}e^{x}-\cos x(e^{x})^{\prime}}{(e^{x})^{2}}$
$=\frac{-\sin x· e^{x}-\cos x· e^{x}}{(e^{x})^{2}}=-\frac{\sin x+\cos x}{e^{x}}$
方法总结
求函数的导数的一般思路
1.对于多个整式乘积形式的函数,可以考虑展开,化为和差形式.
若待求导的函数为多个整式乘积的形式,可以利用多项式的乘法法则,化为和差的形式,再求导,其运算过程将会简化,运算量将会减小.
2.对于三角函数,可考虑恒等变形.
对含有三角函数式的函数求导,往往需要利用三角恒等变换公式,对函数式进行化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导。

5. 已知$f(x)=e^{2023}+x\ln x$，则$f^{\prime}(1)=($ )

A.$1$

B.$e^{2023}+1$

C.$e^{2023}-1$

D.$e^{2023}$

答案： 5.A 解析:
∵$f(x)=e^{2023}+x\ln x,$
∴$f^{\prime}(x)=\ln x + 1,$
∴$f^{\prime}(1)=\ln1 + 1 = 1。$
$⇨(e^{2023})^{\prime}=0。$

6. 已知函数$f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c$，若$f^{\prime}(1)=2$，则$f^{\prime}(-1)=($ )

A.$-1$
B.$-2$
C.$2$
D.$0$

答案： 6.B 解析:(方法1)由$f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c,$得$f^{\prime}(x)=4ax^{3}+2bx。$
因为$f^{\prime}(1)=2,$所以4a + 2b = 2,即2a + b = 1,
则$f^{\prime}(-1)= - 4a - 2b = - 2(2a + b)= - 2。$
(方法2)易知f(x)是偶函数,则$f^{\prime}(x)$是奇函数,
所以$f^{\prime}(-1)= - f^{\prime}(1)= - 2。$
三次函数的导函数是二次函数,二次函数的导函数是一次函数,奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数。

7. 已知函数$f(x),g(x)$满足$f(5)=5,f^{\prime}(5)=3$，$g(5)=4,g^{\prime}(5)=1$，若$h(x)=\frac{f(x)+2}{g(x)}$，则$h^{\prime}(5)=$$\frac{5}{16}$.

答案： $7.\frac{5}{16} $解析$:h^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-[f(x)+2]g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$
∵$f(5)=5,f^{\prime}(5)=3,g(5)=4,g^{\prime}(5)=1,$
∴$h^{\prime}(5)$
$=\frac{f^{\prime}(5)g(5)-[f(5)+2]g^{\prime}(5)}{[g(5)]^{2}}=\frac{3×4-(5 + 2)×1}{4^{2}}=\frac{5}{16}。$

8. 已知函数$f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\cos x,f^{\prime}(x)$是函数$f(x)$的导函数，则$f^{\prime}(x)$的图象大致是(A)

答案： 8.A 解析:
∵$f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\cos x,$
∴$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}x-\sin x,$
易知$f^{\prime}(x)$是奇函数,故排除B,D。
当$x=\frac{\pi}{4}$时$,f^{\prime}(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0,$故排除C。

9. [多选题]直线$y = x + b$可以作为下列函数图象的切线的是(BD)

A.$y=\frac{1}{x}+x$
B.$y=\frac{\ln x}{x}$
C.$y=-x^{3}+x^{2}$
D.$y=e^{x}-x$

答案： 9.BD 解析:因为直线y = x + b的斜率为1,所以可根据导数的几何意义,判断选项中的导数值能不能为1。
$A.y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}+1 = 1,$无解,故A不符合题意;
$B.y^{\prime}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}=1,$解得x = 1,故B符合题意;
$C.y^{\prime}=-3x^{2}+2x = 1,$即$3x^{2}-2x + 1 = 0,\Delta＜0,$无解,故C不符合题意;
$D.y^{\prime}=e^{x}-1 = 1,$解得$x=\ln2,$故D符合题意。
故选BD。

10. 丹麦数学家琴生(Jensen)对数学分析做出了卓越贡献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果. 设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的导函数为$f^{\prime}(x),f^{\prime}(x)$在区间$(a,b)$内的导函数为$f^{\prime\prime}(x)$，若在区间$(a,b)$内$f^{\prime\prime}(x)＜0$恒成立，则称函数$f(x)$在区间$(a,b)$内为“凸函数”. 下列函数在其定义域内是“凸函数”的是(B)

A.$f(x)=x + 2\sin x$
B.$f(x)=x-e^{x}$
C.$f(x)=x-\ln x$
D.$f(x)=\frac{x}{e^{x}}$

答案： 10.B 解析:A中$,f^{\prime}(x)=1 + 2\cos x,f^{\prime\prime}(x)= - 2\sin x,$
显然在定义域内$f^{\prime\prime}(x)$的值有正有负,故不是“凸函数”;
B中$,f^{\prime}(x)=1 - e^{x},f^{\prime\prime}(x)= - e^{x}＜0,$故是“凸函数”;
C中$,f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x},f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}＞0,$故不是“凸函数”;
D中$,f^{\prime}(x)=\frac{1 - x}{e^{x}},f^{\prime\prime}(x)=\frac{x - 2}{e^{x}},$在定义域内$f^{\prime\prime}(x)$的值有正有负,故不是“凸函数”。

11. [2023江西赣州高三期末]若曲线$y = x\ln x + 1$在$x = 1$处的切线与直线$2ax-(a - 1)y + 3 = 0$垂直，则$a =$$\frac{1}{3}$.

答案： $11.\frac{1}{3} $解析:由题意得$y^{\prime}=\ln x + 1,$所以曲线$y = x\ln x + 1$在x = 1处的切线斜率$k=y^{\prime}\big$|$_{x = 1}=\ln1 + 1 = 1。$
因为切线与直线2ax-(a - 1)y + 3 = 0垂直,
所以$a - 1\neq0,$且$\frac{2a}{a - 1}×1 = - 1,$解得$a=\frac{1}{3}。$