《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知等差数列$\{a_n\}$满足$3a_3 = 4a_4$，则该数列中一定为零的项为(B)

A.$a_6$
B.$a_7$
C.$a_8$
D.$a_9$

答案： 1.B 解析：设等差数列{aₙ}的公差为d。
∵3a₃=4a₄，
∴3a₃=4(a₃+d)=4a₃+4d，
∴a₃=-4d，
∴a₁=a₃+(1-3)d=-4d+(n-3)d=(n-7)d，
∴aₙ=0。

2. [$\overset{―}{2024 郑州}$十校联考高二中]已知$\{a_n\}$，$\{b_n\}$均为等差数列，且$a_3 = 5$，$b_1 = 0$，$b_2 = 1$，则数列$\{a_n + b_n\}$的前5项和为(A)

A.$35$
B.$40$
C.$45$
D.$50$

答案： 2.A 解析：因为{aₙ}，{bₙ}均为等差数列，且a₁=5，b₁=0，b₂=1，$b₂=\frac{b₁+b₃}{2}，$得b₃=2，所以数列{aₙ+bₙ}的前5项和为$a₁+b₁+a₂+b₂+a₃+b₃+a₄+b₄+a₅+b₅=(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅)+(b₁+b₂+b₃+b₄+b₅)=\frac{5}{2}(a₁+a₅)+\frac{5}{2}(b₁+b₅)=5a₃+$
5b₃=25+10=35。

3. [教材25页习题8题]有两个等差数列$2,6,10, ·s, 190$和$2,8,14, ·s, 200$，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新数列，则这个新数列的项数为(B)

A.$15$
B.$16$
C.$17$
D.$18$

答案： 3.B 解析：(方法1)因为等差数列2,6,10，⋯，190的公差为4，等差数列2,8,14，⋯，200的公差为6，
所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序排列后组成的新数列的公差为12，首项为2，记该数列为{aₙ}，则aₙ=12n-10.
由12n-10≤190，解得$n≤\frac{50}{3}。$
而n∈N⁎，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.
(方法2)设两个数列分别为{aₙ}与{bₙ}，数列{aₙ}的公差为d₁，数列{bₙ}的公差为d₂，
则a₁=2，d₁=4，通项aₙ=4n-2，项数为48；
b₁=2，d₂=6，通项bₙ=6n-4，项数为34.
设数列{aₙ}的第n项与{bₙ}的第k项相同，
即aₙ=bₖ，即4n-2=6k-4，解得$n=\frac{1}{2}(3k-1).$所以$1≤\frac{1}{2}(3k-1)≤48，$n∈N⁎，k∈N⁎，解得1≤k≤32.
又$n=k+\frac{1}{2}(k-1)，$1≤k≤32，k-1能被2整除，所以k-1
能被2整除的有0,2,4，⋯，30，共16个，即两数列有16
个共同的项。
方法总结
两个等差数列的公共项问题的求法
1.最小公倍数法：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.
2.整除法：从通项公式入手，建立aₙ=bₘ的方程，求其一定范围内的整数解.

4. [数学文化][$\overset{―}{2024 江苏}$盐城一中高二检测]中国古代有一个问题“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升，问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为(B)

A.$\frac{7}{2}$升
B.$\frac{17}{6}$升
C.$\frac{109}{33}$升
D.$\frac{133}{6}$升

答案： 4.B 解析：设自上而下各节竹子的容积依次为a₁升，
a₂升，⋯，a₉升，则数列a₁，a₂，⋯，a₉为等差数列.由题意得$\begin{cases}a₁+a₂+a₃+a₄=3,\\a₁+a₄=a₂+a₃,a₇+a₉=4.\end{cases}$
$a₂+a₃=\frac{3}{2},$
$a₈=\frac{4}{3},$
所以第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为$\frac{17}{6}$升。

5. [多选题][$\overset{―}{2024 湖南}$岳阳高二期末]已知各项均为正数的等差数列$\{a_n\}$单调递增，且$a_5 = 2$，则(BCD)

A.公差$d$的取值范围是$(-\infty, \frac{1}{2})$
B.$2a_7 = a_9 + 2$
C.$a_8 + a_4 ＞ a_6 + a_5$
D.$a_1 + a_9 = 4$

答案： 5.BCD 解析：由题意得d＞0，a₁＞0，a₅=2，所以a₁=2-4d＞0，解得$d＜\frac{1}{2}，$所以$d∈(0,\frac{1}{2})，$故A错误；
2a₇-a₉=(a₆+a₉)-a₉=a₆=2，故B正确；
由a₈+a₉-(a₅+a₄)=a₈-a₅-a₉-a₄=2d-d=d＞0，得a₈+a₉＞a₅+a₄，故C正确；
由等差数列的性质，得a₁+a₉=2a₅=4，故D正确.
故选BCD.

6. [多选题][$\overset{―}{2024 青岛}$西海岸新区高二中]已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 2$，$a_n = 2 - \frac{1}{a_{n-1}} (n = 2,3,4, ·s)$，则下列说法正确的有(ABD)

A.$a_5 = \frac{6}{5}$
B.对任意$n \in \mathbb{N}^*$，$a_{n+1} ＜ a_n$恒成立
C.不存在正整数$p,q,r$使$a_p,a_r,a_q$成等差数列
D.数列$\{\frac{1}{a_n - 1}\}$为等差数列

答案： 6.ABD 解析：因为$aₙ=2-\frac{1}{aₙ₋₁}(n≥2，$n∈N⁎)，
所以$aₙ₊₁=2-\frac{1}{aₙ}(n∈N⁎)，$即$aₙ₊₁-1=1-\frac{1}{aₙ}，$得$\frac{1}{aₙ₊₁-1}=\frac{aₙ}{aₙ-1}=\frac{1}{aₙ-1}+1，$所以$\frac{1}{aₙ₊₁-1}-\frac{1}{aₙ-1}=1，$
所以数列${\frac{1}{aₙ-1}}$是首项为1，公差为1的等差数列，即$\frac{1}{aₙ-1}=n，$得$aₙ=1+\frac{1}{n}，$故D正确.
$a₅=1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}，$故A正确.
$aₙ₊₁-aₙ=(1+\frac{1}{n+1})-(1+\frac{1}{n})=-\frac{1}{n(n+1)}＜0，$所以aₙ₊₁＜
aₙ，故B正确.
若存在正整数p，q，r使aₚ，a_q，a_r成等差数列，则2a_q=
aₚ+a_r，即$2+\frac{2}{r}=2+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}，$得$2=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}，$令p=3，r
=4，q=6，满足等式，故C错误.

7. [$\overset{―}{2023 河北}$张家口高二检测]若数列$\{a_n\}$满足$a_1 + a_{n+1} = 5n$，$a_1 = 1$，则$a_{2024} =$5059.

答案： 7.5059 解析：
∵aₙ+aₙ₊₁=5n，
∴当n≥2时，aₙ₋₁+aₙ=5n-5，
∴aₙ₊₁-aₙ₋₁=5.
又
∵a₁=1，a₁+a₂=5，
∴a₂=4.
∴a₂₀₂₄是首项为4，公差为5的等差数列的第1012项，
∴a₂₀₂₄=4+(1012-1)×5=5059.
方法总结
要注意等差数列的概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简.若aₙ₊₁-aₙ是常数，则{aₙ}是等差数列；若aₙ₊₁-aₙ是常数，则数列中的奇数项或者偶数项成等差数列，需要注意等差数列定义的推广应用.

8. [$\overset{―}{2024 湖南}$益阳六校高二期末联考]已知在等差数列$\{a_n\}$中，$a_2 = 4$，$a_6 = 16$，若在数列$\{a_n\}$中每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为31.

答案： 8.31 解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则$d=\frac{a₆-a₂}{6-2}$
$=\frac{12}{4}=3.$
在数列{aₙ}中每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{bₙ}的公差为$\frac{d}{4}=\frac{3}{4}，$
故新数列的首项b₁=a₁=4-3=1，
故{bₙ}的通项公式为$bₙ=1+\frac{3}{4}(n-1)=\frac{3}{4}n+\frac{1}{4}，$
故$b₄₁=\frac{3}{4}×41+\frac{1}{4}=31.$

9. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 4$，$a_n = 4 - \frac{4}{a_{n-1}} (n ＞ 1, n \in \mathbb{N}^*)$，令$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$.
(1) 求证：数列$\{b_n\}$是等差数列.
(2) 求数列$\{a_n\}$的通项公式.

答案： 9.
(1)证明：(方法1：定义法)
∵$aₙ=4-\frac{4}{aₙ₋₁}(n＞1，$
n∈N⁎)，$bₙ=\frac{1}{aₙ-2}，$
∴$bₙ₋₁=\frac{1}{aₙ₋₁-2}(n＞1，$n∈N⁎)，
∴$bₙ-bₙ₋₁=\frac{1}{aₙ-2}-\frac{1}{aₙ₋₁-2}=4-\frac{4}{aₙ₋₁}-2-\frac{1}{aₙ₋₁-2}=\frac{aₙ₋₁}{2(aₙ₋₁-2)}-\frac{1}{aₙ₋₁-2}=\frac{1}{2}(n＞1，$n∈N⁎).
由a₁=4，可得$b₁=\frac{1}{a₁-2}=\frac{1}{2}，$
化简为同一项aₙ₋₁.
∴数列{bₙ}是首项为$\frac{1}{2}，$公差为$\frac{1}{2}$的等差数列.
(方法2：等差中项法)
∵$bₙ=\frac{1}{aₙ-2}，$
∴$bₙ₊₁=\frac{1}{aₙ₊₁-2}=\frac{aₙ}{2(aₙ-2)}，$
∴$bₙ₊₂=\frac{aₙ₊₁}{2(aₙ₊₁-2)}，$
∴$bₙ+bₙ₊₂-2bₙ₊₁=\frac{1}{aₙ-2}+\frac{aₙ-1}{aₙ-2}-2×\frac{aₙ}{2(aₙ-2)}=0，$
∴bₙ+bₙ₊₂=2bₙ₊₁(n∈N⁎)，
∴数列{bₙ}是等差数列.
(2)解：由
(1)可得数列{bₙ}是首项为$\frac{1}{2}，$公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$bₙ=\frac{1}{2}+(n-1)×\frac{1}{2}=\frac{n}{2}，$即$\frac{1}{aₙ-2}=\frac{n}{2}，$
∴$aₙ=\frac{2}{n}+2=\frac{2(n+1)}{n}$
即数列{aₙ}的通项公式为$aₙ=\frac{2(n+1)}{n}(n∈N⁎)。$
证明数列{aₙ}是等差数列的两种常用方法
1.定义法
证明aₙ₊₁-aₙ=d(常数)或证明aₙ-aₙ₋₁=d(常数)(n≥2).
2.等差中项法
证明aₙ₊₂+aₙ=2aₙ₊₁即可。