《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1.[多选题]下面四个结论，其中正确的有(AB)

A.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集$\{ 1,2,3,·s,n\}$)上的函数
B.数列若用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点
C.数列的项数是无限的
D.数列的通项公式是唯一的

答案： 1.AB 解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的.数列的通项公式可以不唯一，例如，数列2,0,2，0,2,0,⋯的通项公式可以是$a_{n}=1+(-1)^{n+1}$或$a_{n}=\begin{cases}2,n为奇数,\\0,n为偶数\end{cases}$或$a_{n}=1-\cos n\pi(n \in \mathbf{N}^*)$.

2.[2024 云南曲靖高二检测]下列有关数列的说法正确的是(D)

A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列$- 2,0,2$与数列$2,0, - 2$是同一个数列
C.数列$2,4,6,8$可表示为$\{ 2,4,6,8\}$
D.数列中的每一项都与它的序号有关

答案： 2.D 解析：常数列中任意两项都是相等的，故A不正确；数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，故B不正确；{2,4,6,8}表示一个集合，不是数列，故C不正确；根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，故D正确.易错点.
正确.
◇◇注意◇◇
数列是按照一定顺序排列的一列数，这些数可能相同也可能不同，不同于集合，这列数不能加“{}”号.

3.[教材 5 页例 2(1)]数列$- 1,\frac{1}{2}, - \frac{1}{3},\frac{1}{4}, - \frac{1}{5},·s$的一个通项公式为$a_{n} =$(A)

A.$\frac{{( - 1)}^{n}}{n}$
B.$ - \frac{1}{n}$
C.$\frac{{( - 1)}^{n - 1}}{n}$
D.$\frac{1}{n}$

答案： 3.A 解析：依题意，数列$\{a_{n}\}$各项的正负符号间隔出现，故符号为$(-1)^{n}$，各项的绝对值为$\frac{1}{n}$，故数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$.
解题关键
方法总结
观察法求通项公式
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，一般是通过观察每一项的特点，找出通项与序号$n$之间的关系及变化规律，用序号$n$表示出第$n$项.
2.找规律时可使用添项(加1减1，乘2除以2)、通分、分割等方法，也可转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化，可用$(-1)^{n}$或$(-1)^{n+1}$来调整.

4. 如图，第$n$个图形是由正$(n + 2)$边形“扩展”而来的$(n = 1,2,3,·s)$，则第$n$个图形中顶点的个数为(B)



A.$(n + 1)(n + 2)$
B.$(n + 2)(n + 3)$
C.$n^{2}$
D.$n$

答案： 4.B 解析：(方法1：归纳法)当$n = 1$时，顶点个数为$12 = 3 × 4$；当$n = 2$时，顶点个数为$20 = 4 × 5$；当$n = 3$时，顶点个数为$30 = 5 × 6$；当$n = 4$时，顶点个数为$42 = 6 × 7·s·s$由此我们可以归纳，第$n$个图形的顶点个数为$(n + 2)(n + 3)$.
(方法2：直接法)观察5个图形可知，第$n$个图形是由正$(n + 2)$边形的每条边都向外“扩展”一个新的正$(n + 2)$边形而得到的，
故第$n$个图形的顶点个数为$(n + 2)+(n + 2)^{2}=(n + 2)(n + 3)$.
解题关键

5.[多选题][2024 福建宁德一中高二检测]已知数列$\{ a_{n}\}$的前 5 项为$- 1,1, - 1,1, - 1$，则$\{ a_{n}\}$的通项公式可能为(ABC)

A.$a_{n} = {( - 1)}^{n}$
B.$a_{n} = \begin{cases} - 1(n = 2k - 1), \\1(n = 2k), \end{cases} k \in \mathbf{N}^{*}$
C.$a_{n} = \cos n\pi$
D.$a_{n} = \sin\frac{n\pi}{2}$

答案： 5.ABC 解析：观察数列$\{a_{n}\}$的前5项可知，$\{a_{n}\}$的通项公式可能为$a_{n}=(-1)^{n}=\begin{cases}-1(n = 2k - 1),&k \in \mathbf{N}^*,\\1(n = 2k),&\end{cases}$A，B正确；
因为$\cos n\pi=\begin{cases}-1(n为奇数),\\1(n为偶数).\end{cases}$所以$a_{n}=\cos n\pi$，C正确；
若$a_{n}=\sin\frac{n\pi}{2}$，则$a_{1}=\sin\frac{\pi}{2}=1$，D不正确.
列
◇◇注意◇◇
1.数列不一定有通项公式，就像函数不一定有解析式一样.
2.数列的通项公式不一定是唯一的.

6. 根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)$\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{25}{2},·s$；
(2)$0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},·s$；
(3)$1, - 3,5, - 7,9,·s$；
(4)$- \sqrt{3},3, - \sqrt{15},\sqrt{21}, - 3\sqrt{3},·s$；
(5)$9,99,999,9999,·s$；
(6)$3,5,3,5,3,5,·s$.

答案： 6.解：
(1)将数列的各项统一化成分数$\frac{1}{2},\frac{4}{2},\frac{9}{2},\frac{16}{2},\frac{25}{2}$，⋯.分子是序号的平方，故该数列的一个通项公式为$a_{n}=\frac{n^{2}}{2}$
(2)数列各项的分母可视为1,2,4,8，⋯，即$2^{n - 1}$；各项的分子比分母小1，即$2^{n - 1}-1$.
故该数列的一个通项公式为$a_{n}=\frac{2^{n - 1}-1}{2^{n - 1}}$.
(3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，⋯，是连续的正奇数，可用$2n - 1$表示；各项的符号是奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n + 1}$表示.
故该数列的一个通项公式为$a_{n}=(-1)^{n + 1}(2n - 1)$.
(4)各项化为根式$-\sqrt{3},\sqrt{9},-\sqrt{15},\sqrt{21},-\sqrt{27}$，⋯.其符号规律为$(-1)^{n}$，被开方数分别为$3 × 1,3 × 3,3 × 5,3 × 7,3 × 9$，⋯
所以第$n$项的被开方数为$3 × (2n - 1)$.
故该数列的一个通项公式为$a_{n}=(-1)^{n}\sqrt{3(2n - 1)}$.
(5)数列的各项加1后变为10,100,1000,10000，⋯，变化后数列的第$n$项应为$10^{n}$，故该数列的一个通项公式为$a_{n}=10^{n}-1$.
(6)此数列为摆动数列，奇数项为3，偶数项为5，故该数列的通项公式可写为$a_{n}=\begin{cases}3(n为奇数),\\5(n为偶数).\end{cases}$此数列的两项3与5的平均数为$\frac{3 + 5}{2}=4$，奇数项为$4 - 1$，偶数项为$4 + 1$，故该数列的通项公式还可写为$a_{n}=4+(-1)^{n}$.
延伸
由第
(5)小题的通项公式，还可以得到一些类似数列的通项公式，如数列1,11,111,1111，⋯的通项公式可以是$a_{n}=\frac{1}{9}(10^{n}-1)$，又如数列6,66,666,6666，⋯的通项公式可以是$a_{n}=\frac{2}{3}(10^{n}-1)$.