《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 下列数列中，不是等差数列的是(C)

A.$1,4,7,10$
B.$\lg 2, \lg 4, \lg 8, \lg 16$
C.$2^5, 2^4, 2^3, 2^2$
D.$10,8,6,4,2$

答案： 1.C 解析：根据等差数列的定义知，A中，满足4-1=7-4=10-7=3(常数)，所以是等差数列；B中，满足lg4-lg2=lg8-lg4=lg16-lg8=lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为2⁴-2⁵≠2³-2⁴≠2²-2³，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8-10=6-8=4-6=2-4=-2(常数)，所以是等差数列。

2. [多选题]下列说法中正确的有(ACD)

A.若$a_n = a_{n-1} + \pi (n \geq 2)$，则数列$\{a_n\}$是等差数列
B.若$a_{n+1} - a_n = n$，则数列$\{a_n\}$是等差数列
C.若$a_n = bn + c (b, c$是常数$)$，则数列$\{a_n\}$是等差数列
D.若$\{a_n\}$为等差数列，则$\{a_n + a_{n+1}\}$为等差数列

答案： 2.ACD 解析：由aₙ=aₙ₋₁+π(n≥2)得aₙ-aₙ₋₁=π(n≥2)，满足等差数列的定义，故A正确。aₙ₊₁-aₙ=n，n不是常数，不满足等差数列的定义，故B错误。aₙ=bn+c，aₙ₋₁=b(n-1)+c=bn+c-b(n≥2)，aₙ-aₙ₋₁=b(n≥2)，满足等差数列的定义，故C正确。设等差数列{aₙ}的公差为d。
∵(aₙ₊₁+aₙ₊₂)-(aₙ+aₙ₊₁)=(aₙ₊₁-aₙ)+(aₙ₊₂-aₙ₊₁)=2d(常数)，
∴数列{aₙ+aₙ₊₁}是公差为2d的等差数列，故D正确。
方法总结
判断一个数列是不是等差数列的常用方法
(1)定义法
aₙ₊₁-aₙ=d(n∈N⁎)或aₙ-aₙ₋₁=d(n≥2,n∈N⁎)
⇔数列{aₙ}是等差数列。
(2)等差中项法
2aₙ₊₁=aₙ+aₙ₊₂(n∈N⁎)⇔{aₙ}为等差数列。
(3)通项公式法
数列{aₙ}的通项公式形如aₙ=pn+q(p,q为常数)⇔
数列{aₙ}为等差数列。

3. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 2$，$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$.
(1) 数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是不是等差数列？请说明理由.
(2) 求$a_n$.

答案： 3.解：
(1)数列${\frac{1}{aₙ}}$是等差数列.理由如下：
因为$a₁=2,aₙ₊₁=\frac{2aₙ}{aₙ+2}，$所以$\frac{1}{aₙ₊₁}-\frac{1}{aₙ}=\frac{1}{2}，$所以${\frac{1}{aₙ}}$是首项为$\frac{1}{a₁}=\frac{1}{2}，$公差$d=\frac{1}{2}$的等差数列。解题关键：取倒数。
(2)由
(1)可知，$\frac{1}{aₙ}=\frac{1}{a₁}+(n-1)d=\frac{n}{2}，$所以$aₙ=\frac{2}{n}$

4. [$\overset{―}{2024 福建}$三明高二期末]若$2a + 1$是$a - 1$与$4a - 2$的等差中项，则实数$a$的值为(D)

A.$-\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$5$

答案： 4.D 解析：由题意知2a+1是a-1与4a-2的等差中项，故2(2a+1)=a-1+4a-2，解得a=5，故选D.

5. 设$x$是$a$与$b$的等差中项，$x^2$是$a^2$与$-b^2$的等差中项，则$a$,$b$的关系是(C)

A.$a = -b$
B.$a = 3b$
C.$a = -b$或$a = 3b$
D.$a = b = 0$

答案： 5.C 解析：由等差中项的定义知$x=\frac{a+b}{2}，$$x²=\frac{a²-b²}{2}，$
所以$\frac{a²-b²}{2}=(\frac{a+b}{2})²，$即a²-2ab-3b²=0，解得a=-b
或a=3b。
因式分解得(a+b)(a-3b)=0。

6. [$\overset{―}{2024 山东}$潍坊高二检测]已知$\{a_n\}$是等差数列，且$a_2 + 1$是$a_1$和$a_4$的等差中项，则$\{a_n\}$的公差为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$-2$
D.$-1$

答案： 6.B 解析：设等差数列{aₙ}的公差为d。由已知条件，得a₁+a₄=2(a₂+1)，即a₁+(a₁+3d)=2(a₁+d+1)，解得d=2.

7. 已知$\triangle ABC$的三边$a$,$b$,$c$成等差数列，$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{c}$也成等差数列，判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 7.解：因为a,b,c成等差数列，$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$也成等差数列，
所以$\begin{cases}2b=a+c,\\2\sqrt{b}=\sqrt{a}+\sqrt{c},\end{cases}$则$2(a+c)=(\sqrt{a}+\sqrt{c})²，$
即$a+c=2\sqrt{ac}，$所以$(\sqrt{a}-\sqrt{c})²=0，$
故a=c=b，所以△ABC为等边三角形。

8. [$\overset{―}{2022 福建}$泉州高二期末]在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_3 + a_7 = 10$，$a_6 = 7$，则公差$d =$ (B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 8.B 解析：在等差数列{aₙ}中，因为a₃+a₇=10，a₆=7，
所以$\begin{cases}a₁+2d+a₁+6d=10,\\a₁+5d=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a₁=-3,\\d=2.\end{cases}$
方法总结
求等差数列的首项、公差时，只需利用通项公式构造关于首项、公差的方程组，即可得解。

9. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，它讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列$\{a_n\}$，则此数列共有(C)

A.$95$项
B.$96$项
C.$97$项
D. $98$项

答案： 9.C 解析：由题意得a₁=1，d=21，故aₙ=21n-20.由1≤aₙ≤2020，得$1≤n≤\frac{680}{7}.$又n∈N⁎，故此数列共有97项。