《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024江苏高二检测] 设函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上可导，且$f^{\prime}(1)=2023$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{2023\Delta x} =$ (A)

A.$1$
B.$\frac{1}{2023}$
C.$2023$
D.$0$

答案： 1.A 解析:$f'(1)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=2023$,
所以$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{2023\Delta x}=\frac{1}{2023} · \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$
$=\frac{1}{2023} × 2023=1$

2. 若函数$y = f(x)$的导函数在区间$[a, b]$上单调递增，则函数$y = f(x)$在区间$[a, b]$上的图象可能是(A)

答案： 2.A 解析:依题意,$y = f'(x)$在$[a,b]$上单调递增,则在函数$f(x)$的图象上,各点的切线的斜率随着$x$的增大
而增大,观察四个选项的图象,只有A满足.

3. [2024河南高二检测] 函数$f(x)$的图象如图，则函数$f(x)$在下列区间上平均变化率最大的是(C)


A.$[1, 2]$
B.$[2, 3]$
C.$[3, 4]$
D.$[4, 7]$

答案： 3.C 解析:函数$f(x)$在区间上的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}$,由函数图象可得,在区间$[4,7]$上,$\frac{\Delta y}{\Delta x}＜0$,即函数$f(x)$在区间$[4,7]$上的平均变化率小于$0$;在区间$[1,2],[2,3],[3,4]$上时,$\frac{\Delta y}{\Delta x}＞0$且$\Delta x$相同,由图象可知函数在区间$[3,4]$上的$\frac{\Delta y}{\Delta x}$最大,所以函数$f(x)$在区间$[3,4]$上的平均变化率最大.

4. 函数$f(x) = x^2$在区间$[0, 2]$上的平均变化率等于$x = m$时的瞬时变化率，则$m =$ (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 4.B 解析:函数$f(x)=x^2$在区间$[0,2]$上的平均变化率等于$\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{4-0}{2-0}=2$,$f(x)=x^2$在$x=m$时的瞬时变化率为$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(m+\Delta x)-f(m)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(\Delta x+2m)=2m$,所以$2 = 2m$,解得$m = 1$.

5. [多选题] [2024北京丰台区高二中] 人的心率会因运动而变化，并且用$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的大小评价心率变化得快慢. 已知运动员甲($y = f(x)$)、乙($y = g(x)$)在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示($a, b, c$为定义域的四等分点)，下列结论中正确的有(ABC)


A.在$[a, b]$这段时间内，甲的心率变化比乙快
B.在$a$时刻，甲的心率变化比乙快
C.在$b$时刻，甲、乙的心率变化相同
D.乙在$[a, b]$这段时间内的心率变化，比甲在$[b, c]$这段时间内的心率变化快

答案： 5.ABC 解析:对于A,在$[a,b]$这段时间内,$f(x)$图象割线斜率的绝对值比$g(x)$图象割线斜率的绝对值大,所以甲的心率变化比乙快,故A正确;
对于B,在$a$时刻,$f(x)$图象切线斜率的绝对值比$g(x)$图象切线斜率的绝对值大,甲的心率变化比乙快,故B正确;
对于C,在$b$时刻,$f(x)$图象切线斜率和$g(x)$图象切线斜率相同,所以甲、乙的心率变化相同,故C正确;
对于D,乙(虚线)在$[a,b]$这段时间的割线斜率小于甲(实线)在$[b,c]$这段时间的割线斜率的绝对值,故D错误.

6. [2024福建莆田一中高二检测] 设$P$为曲线$C: y = x^2 + 2x + 3$上的点，且曲线$C$在点$P$处切线倾斜角的取值范围为$[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$，则点$P$横坐标的取值范围为(D)

A.$(-\infty, \frac{1}{2}]$
B.$[-1, 0]$
C.$[0, 1]$
D.$[-\frac{1}{2}, +\infty)$

答案： 6.D 解析:设点$P$的横坐标为$x$,
$y'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+2(x+\Delta x)+3-(x^2+2x+3)}{\Delta x}$
$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(2x+2) · \Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}$
$=\lim_{\Delta x \to 0}(\Delta x+2x+2)=2x+2$,
又曲线C在点$P$处切线倾斜角的取值范围为$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$,
所以其斜率$k \geq 1$.由$y'=2x+2 \geq 1$,解得$x \geq -\frac{1}{2}$.

7. 若$\lim_{x \to 2} \frac{f(5 - x) - 3}{x - 2} = 2, f(3) = 3$，则$f(x)$在$(3, f(3))$处的切线方程为(B)

A.$2x + y + 9 = 0$
B.$2x + y - 9 = 0$
C.$-2x + y + 9 = 0$
D.$-2x + y - 9 = 0$

答案： 7.B 解析:由已知$\lim_{x \to 2}\frac{f(5-x)-3}{x-2}=2$,$f(3)=3$,令$\Delta x=x-2$,
$\therefore \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3-\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=-\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(3-\Delta x)-f(3)}{-\Delta x}=-f'(3)=2$,解得$f'(3)=-2$,$\therefore f(x)$在$(3,f(3))$处的切线方程为$y - 3 = -2(x - 3)$,即$2x+y - 9 = 0$.

8. 水波的半径从$0$开始以$0.5 \mathrm{m/s}$的速度向外扩张，当半径为$2.5 \mathrm{m}$时，圆面积的膨胀率是$2.5\pi$$\mathrm{m^2/s}$.

答案： 8.$2.5\pi$ 解析:水波的半径以$v = 0.5m/s$的速度向外扩张,则水波的面积为$S=\pi r^2=\pi(vt)^2=0.25\pi t^2$.
又水波面积的膨胀率为
$S'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{0.25\pi(t+\Delta t)^2 - 0.25\pi t^2}{\Delta t}=0.5\pi t$,
且当半径为$2.5m$时,$t=\frac{2.5}{0.5}=5(s)$,
$S'(5)=0.5\pi × 5=2.5\pi$,
瞬时膨胀率就是函数在该点处的导数.
所以半径为$2.5m$时,圆面积的膨胀率是$2.5\pi m^2/s$.

9. 已知曲线$C: y = x^3$.
(1) 求曲线$C$在横坐标为$x = 1$的点$P$处的切线方程，并判断该切线与曲线$C$是否还有其他的公共点，若有，求出公共点的坐标；
(2) 求曲线$C$过点$(1, 1)$的切线方程.

答案： 9.解:
(1)将$x = 1$代入曲线C的方程,得$y = 1$,所以切点为$P(1,1)$.
$y'|_{x = 1}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^3 - 1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}[3 + 3\Delta x+(\Delta x)^2]=3$,所以$k = y'|_{x = 1}=3$.
所以曲线在点$P(1,1)$处的切线方程为$y - 1 = 3(x - 1)$,即$3x - y - 2 = 0$.
曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为$y - f(x_0)=f'(x_0)(x - x_0)$.
由$\begin{cases}y = 3x - 2\\y = x^3\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2\\y = -8\end{cases}$
因此切线与曲线C还有其他的公共点,坐标为$(-2,-8)$.
(2)设切点为$Q(x_0,x_0^3)$,可知$y'|_{x = x_0}=3x_0^2$,
只要已知条件中没有切点,就先设出切点坐标,然后利用导数求出切点坐标.
则切线方程为$y - x_0^3 = 3x_0^2(x - x_0)$.
因为点$(1,1)$在该切线上,所以将$(1,1)$的坐标代入,整理得$2x_0^3 - 3x_0^2 + 1 = 0$,解得$x_0 = 1$或$x_0 = -\frac{1}{2}$.
①当$x_0 = 1$时,切点坐标为$(1,1)$,相应的切线方程为$3x - y - 2 = 0$.
②当$x_0 = -\frac{1}{2}$时,切点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$,相应的切线方程为$y + \frac{1}{8}=\frac{3}{4}(x + \frac{1}{2})$,即$3x - 4y + 1 = 0$.
综上,切线方程为$3x - y - 2 = 0$或$3x - 4y + 1 = 0$.