《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [阳江一中2024高二检测]函数$f(x)=x^2$在$x=1$处的导数为(B)

A.$2x$
B.$2$
C.$2+\Delta x$
D.$1$

答案： 1.B 解析:$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (2+\Delta x)= 2$.
方法总结：求函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数的步骤：1.求函数值的变化量$\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$；2.求平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$；3.取极限，得导数$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

2. 设函数$f(x)$在$x=1$处的导数为$2$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{3\Delta x} =$(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.$6$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.A 解析:$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{3\Delta x} = \frac{1}{3} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = \frac{1}{3} × 2 = \frac{2}{3}$.

3. [2024广东高二检测]若$f'(1)=a$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+2\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=$2a.

答案： 3.2a 解析:$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+2\Delta x)-f(1)}{\Delta x}= 2 \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+2\Delta x)-f(1)}{2\Delta x} = 2f'(1) = 2a$.
延伸：导数定义的其他常见表达式：1.$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}$；2.$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+m\Delta x)-f(x_0)}{m\Delta x}$；3.$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0-\Delta x)}{2\Delta x}$.

4. [教材66页练习3题]一质点$M$按运动方程$s(t)$
教材变式$=at^2+1$做直线运动($s$表示位移大小,单位:$m$;$t$表示时间,单位:$s$).若质点$M$在$t=2\ s$时的瞬时速度大小为$8\ m/s$,则常数$a=$2.

答案： 4.2 解析:因为$\Delta s = s(2+\Delta t)-s(2) = a(2+\Delta t)^2+1 - a · 2^2-1 = 4a\Delta t+a(\Delta t)^2$，所以$\frac{\Delta s}{\Delta t} = 4a+a\Delta t$，当$\Delta t$趋于$0$时，$\frac{\Delta s}{\Delta t}$趋于$4a$，则$4a = 8$，所以$a = 2$.

5. 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为$T(t)=\frac{120}{t+5}+15$，其中$T(t)$（单位：$° C$）为蜥蜴的体温，$t$（单位：$\min$）为太阳落山后的时间.
（1）从$t=0$到$t=10$，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从$t=0$到$t=10$，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
（3）求$T'(5)$，并解释它的实际意义.

答案： 5.解:
(1)$T(10)-T(0) = \frac{120}{10+5}+15-(\frac{120}{0+5}+15) = -16$，即从$t = 0$到$t = 10$，蜥蜴的体温下降了$16^{\circ}C$.
(2)从$t = 0$到$t = 10$，蜥蜴体温的平均变化率是$\frac{T(10)-T(0)}{10 - 0} = \frac{-16}{10} = -1.6 (^{\circ}C/min)$，它表示从$t = 0$到$t = 10$这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降$1.6^{\circ}C$.
(3)因为$\frac{T(5+\Delta t)-T(5)}{\Delta t} = \frac{\frac{120}{5+\Delta t+5}+15-(\frac{120}{5+5}+15)}{\Delta t} = -\frac{12}{10+\Delta t}$，所以当$\Delta t$趋近于$0$时，$-\frac{12}{10+\Delta t}$趋近于$-1.2$，即$T'(5) = -1.2$，它表示当$t = 5$时，蜥蜴体温的下降速度为$1.2^{\circ}C/min$.

6. 设$f(x)$存在导函数且满足$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1)-f(1-2\Delta x)}{2\Delta x} =-1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为(A)

A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$

答案： 6.A 解析:曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为$f'(1) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1)-f(1-2\Delta x)}{2\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1-2\Delta x)-f(1)}{-2\Delta x} = -1$.

7. 曲线$y=f(x)=\frac{9}{x}$在点$(3,3)$处的切线的倾斜角$\alpha$等于(C)

A.$45°$
B.$60°$
C.$135°$
D.$120°$

答案： 7.C 解析:$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= 9\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{x+\Delta x - x}{\Delta x} = -9\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{(x+\Delta x)x} = -\frac{9}{x^2}$，$\therefore y'|_{x = 3} = -\frac{9}{9} = -1$，$\left.y'\right|_{x = 3} = \tan \alpha = -1$，$\therefore$倾斜角为$135^{\circ}$.

8. [2024东北检测]若曲线$y=h(x)$在点$P(a,h(a))$处的切线方程为$2x+y+1=0$，则(B)

A.$h'(a)=0$
B.$h'(a)＜0$
C.$h'(a)＞0$
D.$h'(a)$不存在

答案： 8.B 解析:由$2x+y+1 = 0$，得$y = -2x-1$.由导数的几何意义知，$h'(a) = -2 ＜ 0$.

9. [2024北京海淀区高二检测]如图，曲线$y=f(x)$在点$P(1,f(1))$处的切线$l$过点$(2,0)$，且$f'(1)=-2$，则$f(1)$的值为(C)

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 9.C 解析:曲线$y = f(x)$在点$P(1,f(1))$处的切线$l$过点$(2,0)$，且$f'(1) = -2$，所以切线方程为$y = -2(x - 2)$.因为切点在曲线上也在切线上，所以$f(1) = -2 × (1 - 2) = 2$.

10. 曲线$f(x)=\frac{2}{x}$在点$(-2,-1)$处的切线方程为$x+2y+4 = 0$.

答案： 10.$x+2y+4 = 0$ 解析:$f'(-2) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(-2+\Delta x)-f(-2)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{-2+\Delta x+1} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{-2+\Delta x} = -\frac{1}{2}$，$\therefore$切线方程为$y + 1 = -\frac{1}{2}(x + 2)$，即$x+2y+4 = 0$.
方法总结：求曲线在某点处切线方程的步骤：1.求函数$y = f(x)$在点$x = x_0$处的导数，即求曲线$y = f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线斜率；2.用点斜式$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$写出切线方程；3.将切线方程的点斜式化为一般式或斜截式.

11. 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某一个月内两工厂污水的排放量$W$与时间$t$的关系如图所示.

（1）该月内哪个工厂的污水排放量减少得更多？
（2）在接近$t_0$时，哪个工厂的污水排放量减少得更多？

答案： 11.解:
(1)观察图象可知，污水排放减少量$\Delta W=W_{t_0}-W_{t}$，令甲工厂的污水排放减少量为$\Delta W_1$，乙工厂的污水排放减少量为$\Delta W_2$，结合图象可知$\Delta W_1＜\Delta W_2$，所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多.
(2)在接近$t$时，污水排放量的减少速度为$f'=\frac{W_{t_0}-W_{t_1}}{t_0 - t_1}$，其中$t_1$为接近$t$的时间且$t_1 ＜ t$，由导数的定义与几何意义可知，可以将其看成在$t$处切线的斜率，设甲工厂在$t$处切线的斜率为$k_1$，乙工厂在$t$处切线的斜率为$k_2$，结合图象可知$|k_1| ＞ |k_2|$，所以在接近$t$时，甲工厂的污水排放量减少得更多.