《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

10. $[$多选题$]$过点$A ( a , 0 )$可作曲线$C$：$y = x e ^ { x }$的两条切线，则实数$a$可能的值是$($　　$)$

A.$0$
B.$\sqrt { 2 }$
C.$- \ln e ^ { 5 }$
D.$e$

答案： 10.BCD 解析：设切点坐标为$(x_{0},x_{0}e^{x_{0}})$。
因为$y'=(x+1)e^{x}$，所以$y'\big|_{x=x_{0}}=(x_{0}+1)e^{x_{0}}$，
所以切线方程为$y - x_{0}e^{x_{0}} = (x_{0} + 1)e^{x_{0}}(x - x_{0})$。
将点$A(a,0)$的坐标代入可得$-x_{0}e^{x_{0}} = (x_{0} + 1)e^{x_{0}}(a - x_{0})$，
化简得$x_{0}^{2} - ax_{0} - a = 0$。过点$A(a,0)$可作曲线$C$的两条切线，即方程$x_{0}^{2} - ax_{0} - a = 0$有两个不同的解，则$\Delta = a^{2} + 4a ＞ 0$，解得$a ＞ 0$或$a ＜ -4$，故实数$a$的取值范围是$(-\infty, -4)\cup(0, +\infty)$。又$-\ln e^{5} = -5\ln e = -5$，结合选项可判断B，C，D正确。

11. $[2024$江西景德镇一中高二检测$]$设$f$${ 0 } ( x ) = \sin 2 x + \cos 2 x , f$${ 1 } ( x ) = f$${ 0 } ^ { \prime } ( x ) , f$${ 2 } ( x ) = f$${ 1 } ^ { \prime } ( x ) , ·s , f$${ n + 1 } ( x ) = f$${ n } ^ { \prime } ( x ) , n \in \mathbf { N } ^ { * }$，则$f$${ 2 0 2 4 } ( x ) = ($　　$)$

A.$2 ^ { 2 0 2 3 } ( \cos 2 x - \sin 2 x )$
B.$2 ^ { 2 0 2 4 } ( \cos 2 x + \sin 2 x )$
C.$2 ^ { 2 0 2 3 } ( - \cos 2 x - \sin 2 x )$
D.$2 ^ { 2 0 2 4 } ( - \cos 2 x + \sin 2 x )$

答案： 11.B 解析：$f_{1}(x)=2\cos2x - 2\sin2x$，
$f_{2}(x)=-2^{2}\sin2x - 2^{2}\cos2x$，$f_{3}(x)=-2^{3}\cos2x + 2^{3}\sin2x$，
$f_{4}(x)=2^{4}\sin2x + 2^{4}\cos2x$，
因为$2024 = 506 × 4$，所以$f_{2024}(x)=2^{2024}(\sin2x + \cos2x)$。

12. 我国古代数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正$n$边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率$\pi$的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统数学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替切点附近的曲线来近似计算.设$f ( x ) = \ln ( 1 + x )$，则曲线$y = f ( x )$在点$( 0 , 0 )$处的切线方程为y=x，用此结论计算$\ln 2 0 2 2 - \ln 2 0 2 1 \approx$$\frac{1}{2021}$.

答案： 12.$y = x^{-\frac{1}{2021}}$ 解析：函数$f(x)=\ln(1 + x)$，则$f'(x)=\frac{1}{1 + x}$，$f'(0)=1$，$f(0)=0$，$\therefore$点$(0,0)$处的切线方程为$y = x$。
$\because \ln2022 - \ln2021 = \ln(1 + \frac{1}{2021}) = f(\frac{1}{2021})$，
根据以直代曲，$x = \frac{1}{2021}$非常接近$x = 0$，$\therefore$可以将$x =\frac{1}{2021}$代入点$(0,0)$处的切线方程近似计算$f(\frac{1}{2021})$，
$\therefore f(\frac{1}{2021}) \approx \frac{1}{2021}$。

13. $[2024$山东潍坊一中高二检测$]$对于函数$f ( x )$，如果$f ( x )$可导，且$f ( x ) = f ^ { \prime } ( x )$有实数根$x$，则称$x$是函数$f ( x )$的驻点.若函数$g ( x ) = x ^ { 2 } ( x ＞ 0 ) , h ( x ) = \ln x , \phi ( x ) = \sin x ( 0 ＜ x ＜ \pi )$的驻点分别是$x$${ 1 } , x$${ 2 } , x$${ 3 }$，则$x$${ 1 } , x$${ 2 } , x$${ 3 }$的大小关系是$($用“$＜$”连接$)$

答案： 13.$x_{3} ＜ x_{2} ＜ x_{1}$ 解析：因为$g'(x)=2x$，所以$x^{2}=2x$，
又$x ＞ 0$，所以$x_{1}=2$。
因为$\varphi'(x)=\cos x(0 ＜ x ＜ \pi)$，
所以$\sin x = \cos x$，所以$x_{3}=\frac{\pi}{4}$。
因为$h'(x)=\frac{1}{x}$，所以$\ln x = \frac{1}{x}$，即$x\ln x - 1 = 0$。
令$F(x)=x\ln x - 1$，
因为$F(2)=2\ln2 - 1 = \ln4 - 1 ＞ 0$，$F(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}\ln\frac{\pi}{4} - 1 ＜ 0$，
所以$\frac{\pi}{4} ＜ x_{2} ＜ 2$。故答案为$x_{3} ＜ x_{2} ＜ x_{1}$。

14. 对于三次函数$f ( x ) = a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d ( a \neq 0 )$，给出定义：设$f ^ { \prime } ( x )$是函数$y = f ( x )$的导数，$f ^ { \prime \prime } ( x )$是$f ^ { \prime } ( x )$的导数，若方程$f ^ { \prime \prime } ( x ) = 0$有实数解$x$${ 0 }$，则称点$( x$${ 0 } , f ( x$${ 0 } ) )$为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数$g ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 1$，则$g ( \frac { 1 } { 1 0 0 } ) + g ( \frac { 2 } { 1 0 0 } ) + ·s + g ( \frac { 9 9 } { 1 0 0 } ) =$$49\frac{1}{2}$.

答案： 14.$49\frac{1}{2}$ 解析：$\because g(x)=2x^{3} - 3x^{2} + 1$，
$\therefore g'(x)=6x^{2} - 6x$，$g''(x)=12x - 6$。
由$g''(x)=0$，
得$x=\frac{1}{2}$。
$g''(x)$是$g'(x)$的导函数。
又$g(\frac{1}{2})=2 × (\frac{1}{2})^{3} - 3 × (\frac{1}{2})^{2} + 1 = \frac{1}{2}$，
$\therefore$函数$g(x)$的图象关于点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$对称，
$\therefore g(x) + g(1 - x)=2 × \frac{1}{2} = 1$，$\therefore g(\frac{1}{100}) + g(\frac{2}{100}) + ·s+ g(\frac{99}{100})=49 × 1 + g(\frac{1}{2})=49 + \frac{1}{2}=49\frac{1}{2}$。

15. 已知函数$f ( x ) = 3 x + \cos 2 x + \sin 2 x , f ^ { \prime } ( x )$是$f ( x )$的导函数，且$a = f ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 4 } )$，求过曲线$y = x ^ { 3 }$上一点$P ( a , b )$的切线方程.

答案： 15.解：由$f(x)=3x + \cos2x + \sin2x$，
得$f'(x)=3 - 2\sin2x + 2\cos2x$，
则$a = f'(\frac{\pi}{4})=3 - 2\sin\frac{\pi}{2} + 2\cos\frac{\pi}{2}=1$。
由$y = x^{3}$，得$y' = 3x^{2}$。
当点$P$为切点时，切线的斜率$k = 3a^{2}=3 × 1^{2}=3$。
因为$b = a^{3}$，所以$b = 1$，
所以切点$P$的坐标为$(1,1)$，
所以曲线$y = x^{3}$上以点$P$为切点的切线方程为$y - 1 =3(x - 1)$，即$3x - y - 2 = 0$。
当点$P$不是切点时，设切点坐标为$(x_{0},x_{0}^{3})$，此时切线的斜率$k' = 3x_{0}^{2}$，
所以切线方程为$y - x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}(x - x_{0})$。
将$(1,1)$代入切线方程，得$1 - x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}(1 - x_{0})$，
所以$2x_{0}^{3} - 3x_{0}^{2} + 1 = 0$，所以$2x_{0}^{3} - 2x_{0}^{2} - x_{0}^{2} + 1 = 0$，
所以$(x_{0} - 1)^{2}(2x_{0} + 1)=0$，解得$x_{0}=-\frac{1}{2}(x_{0}=1$舍去$)$，
所以切点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$。
又切线的斜率为$3 × (-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$，
所以切线方程为$y + \frac{1}{8}=\frac{3}{4}(x + \frac{1}{2})$，
即$3x - 4y + 1 = 0$。
综上，满足题意的切线方程为$3x - y - 2 = 0$或$3x - 4y + 1 = 0$。