《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设函数$y = f(x) = x^2 - 1$，当自变量$x$由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率是(A)

A.2.1
B.0.21
C.1.21
D.0.121

答案： 1.A 解析:$\Delta x=1.1 - 1 = 0.1$,$\Delta y = f(1.1) - f(1)=1.1^{2}-1 - (1^{2}-1)=0.21$,
所以函数$y = f(x)=x^{2}-1$在区间$[1,1.1]$上的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1.1)-f(1)}{\Delta x}=\frac{0.21}{0.1}=2.1$.
方法总结
求平均变化率的步骤
1.求出自变量的改变量;2.根据自变量的改变量求出函数值的改变量;3.求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值.

2. [2023·合肥六中高二期中] 已知函数$y = f(x) = ax^2 (a \neq 0)$从$x = 1$到$x = 2$的平均变化率为 -6，则实数$a$的值等于(D)

A.2
B.1
C.-1
D.-2

答案： 2.D 解析:根据题意,函数$y = f(x)=ax^{2}(a\neq0)$,
则$f(2)=4a,f(1)=a$.
若函数$y = f(x)$从$x = 1$到$x = 2$的平均变化率为$-6$,
即$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2)-f(1)}{2 - 1}=3a = - 6$,
解得$a = - 2$.

3. 某婴儿从出生到第 24 个月的体重(单位:kg)变化情况如图所示，试计算第二年该婴儿体重的平均变化率为0.25$\underline{\hspace{2cm}}$kg/月.

]

答案： 3.0.25 解析:第二年的平均变化率为$\frac{14.25 - 11.25}{24 - 12}=0.25( kg/月)$.

4. 已知函数$f(x) = ax^2 (a \neq 0)$在$[1,2]$上的平均变化率为$\sqrt{3}$，则$f(x)$在$[-2,-1]$上的平均变化率为$-\sqrt{3}$$\underline{\hspace{2cm}}$.

答案： 4.$-\sqrt{3}$ 解析:因为$f(x)$在$[1,2]$上的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2)-f(1)}{2 - 1}=\frac{4a - a}{1}=3a$,
所以$3a=\sqrt{3}$,即$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$,故$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}$.
所以$f(x)$在$[-2,-1]$上的平均变化率为
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(-1)-f(-2)}{-1-(-2)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}}{1}=-\sqrt{3}$.

5. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为$s(t) = 4t^2 - 3$(s 的单位为 m，$t$的单位为 s)，则$t = 5$时的瞬时速度为(D)

A.7 m/s
B.10 m/s
C.37 m/s
D.40 m/s

答案： 5.D 解析:$\because\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{4(5+\Delta t)^{2}-3 - 4×5^{2}+3}{\Delta t}=40 + 4\Delta t$,
$\therefore v(5)=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(40 + 4\Delta t)=40 m/s$.

6. 某物体的运动方程为$s(t) = 3t^2$(位移单位:m，时间单位:s)，若$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(3 + \Delta t) - s(3)}{\Delta t} = 18$m/s，则下列说法中正确的是(C)

A.18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度
B.18 m/s 是物体从 3 s 到$(3 + \Delta t)$s 这段时间内的速度
C.18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s 是物体从 3 s 到$(3 + \Delta t)$s 这段时间内的平均速度

答案： 6.C 解析:根据题意,$v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{s(3+\Delta t)-s(3)}{\Delta t}=18 m/s$,
即物体在$3 s$这一时刻的瞬时速度是$18 m/s$,所以C正确.
点评
极限思想是逼近的思想,瞬时变化率就是平均变化率的极限.

7. [2024·杭州高二检测] 在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移$s$(单位:m)与比赛时间$t$(单位:s)的关系是$s(t) = 10t + 5t^2$. 求：
(1) 当$t = 5$ s，$\Delta t = 0.1$ s 时的$\Delta s$与$\frac{\Delta s}{\Delta t}$；
(2) 当$t = 5$ s 时的瞬时速度.

答案： 7.解:
(1)$\Delta s=s(5 + 0.1)-s(5)$
$=10×(5 + 0.1)+5×(5 + 0.1)^{2}-10×5 - 5×5^{2}=6.05( m)$.
$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{6.05}{0.1}=60.5( m/s)$.
(2)$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{10(t+\Delta t)+5(t+\Delta t)^{2}-10t - 5t^{2}}{\Delta t}$
$=\frac{5(\Delta t)^{2}+10t\Delta t+10\Delta t}{\Delta t}=5\Delta t+10t + 10$.
当$\Delta t\rightarrow0,t = 5 s$时,瞬时速度为$10×5+10 = 60( m/s)$.

8. 如图，已知曲线$y = x^2$，$P(0.4,0.16)$是曲线上的一点，$Q$是曲线上点$P$附近的一个点，设点$Q$的横坐标为$x$，则割线$PQ$的斜率是$x + 0.4$$\underline{\hspace{2cm}}$(用含$x$的式子表示).

]

答案： 8.$x + 0.4$ 解析:由题知$Q(x,x^{2}),P(0.4,0.16)$,所以割线$PQ$的斜率$k_{PQ}=\frac{x^{2}-0.16}{x - 0.4}=x + 0.4$.

9.[2024·厦门实验中学高二检测] 已知曲线$y = x^2 - 1$上两点$A(2,3)$，$B(2 + \Delta x,3 + \Delta y)$，当$\Delta x = 1$时，割线$AB$的斜率是5$\underline{\hspace{2cm}}$；当$\Delta x = 0.1$时，割线$AB$的斜率是4.1$\underline{\hspace{2cm}}$.

答案： 9.5 4.1 解析:当$\Delta x = 1$时,割线$AB$的斜率$k_{1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(2+\Delta x)^{2}-1 - 2^{2}+1}{(2 + 1)^{2}-2^{2}}=5$.
当$\Delta x = 0.1$时,
割线$AB$的斜率$k_{2}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(2+0.1)^{2}-1 - 2^{2}+1}{0.1}=4.1$.
平均变化率的几何意义就是割线的斜率.

10. 在曲线$y = x^2 + 1$上取一点$(1,2)$及附近一点$(1 + \Delta x,3 + \Delta y)$，则$\frac{\Delta y}{\Delta x}$为(D)

A.$\Delta x + \frac{1}{\Delta x} + 2$
B.$\Delta x - \frac{1}{\Delta x} - 2$
C.$\Delta x + 2$
D.$2 + \Delta x - \frac{1}{\Delta x}$

答案： 10.D 解析:因为曲线$y = x^{2}+1$过点$(1,2)$及附近一点$(1+\Delta x,3+\Delta y)$,
所以$3+\Delta y=(1+\Delta x)^{2}+1$,从而$\Delta y=(\Delta x)^{2}+2\Delta x - 1$,
所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x-\frac{1}{\Delta x}+2$.
易错警示
本题易错的地方是对$\Delta y$的确定,由于本题对$\Delta y$有确切定义,因此不要想当然地认为$\Delta y = f(1+\Delta x)-f(1)=(1+\Delta x)^{2}+1-(1 + 1)=2\Delta x+(\Delta x)^{2}$.