《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在等比数列 $\{ a_{n}\}$ 中，公比 $q = 2$，前 $87$ 项和 $S_{87} = 140$，则 $a_{3} + a_{6} + a_{9} + ·s + a_{87} = ( \quad )$

A.$\frac{140}{3}$
B.$60$
C.$80$
D.$160$

答案： 1.C 解析：
∵$\{ a_{n}\}$为公比$q = 2$的等比数列，
∴可设$a_{1} + a_{4} + a_{7} + ·s + a_{85} = x$，
∴$a_{2} + a_{5} + a_{8} + ·s + a_{86} = 2x$，$a_{3} + a_{6} + a_{9} + ·s + a_{87} = 4x$，
∴$S_{87} = x + 2x + 4x = 140$，解得$x = 20$，
∴$a_{3} + a_{6} + a_{9} + ·s + a_{87} = 4x = 4 × 20 = 80$.故选C.

2. 已知在公比为 $2$ 的等比数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{2} + a_{5} + a_{8} + a_{11} + a_{14} + a_{17} + a_{20} = 13$，则该数列的前 $21$ 项和 $S_{21} =$$\frac{91}{2}$.

答案： 2.$\frac{91}{2}$ 解析：设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，则$q = 2$，
由题知$a_{2},a_{5},a_{8},a_{11},a_{14},a_{17},a_{20}$仍为等比数列，其首项为$a_{2}$，公比为$q^{3}$，故$a_{2} + a_{5} + a_{8} + a_{11} + a_{14} + a_{17} + a_{20} = \frac{a_{2}[1 - (q^{3})^{7}]}{1 - q^{3}} =$
$\frac{a_{1}q(1 - q^{21})}{(1 - q)(1 + q + q^{2})} = \frac{a_{1}(1 - q^{21})}{1 - q} · \frac{q}{1 + q + q^{2}} = S_{21} · \frac{2}{7} =$
$13$，解得$S_{21} = \frac{91}{2}$.
立方差公式$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$.

3. $[2024$ 湖北荆州高二检测$]$ 设等比数列 $\{ a_{n}\}$ 中，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $S_{3} = 8$，$S_{6} = 7$，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ 等于$($ $)$

A.$\frac{1}{8}$
B.$-\frac{1}{8}$
C.$\frac{57}{8}$
D.$\frac{55}{8}$

答案： 3.A 解析：因为$a_{7} + a_{8} + a_{9} = S_{9} - S_{6}$，且$S_{3},S_{6} - S_{3},S_{9} - S_{6}$也成等比数列，即$8, - 1,S_{9} - S_{6}$成等比数列，
所以$8(S_{9} - S_{6}) = 1$，即$S_{9} - S_{6} = \frac{1}{8}$，
所以$a_{7} + a_{8} + a_{9} = \frac{1}{8}$.
◇◇易错警示◇◇◇
在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$为其前$n$项和.
1.当$q = - 1$时，数列$S_{k},S_{2k} - S_{k},S_{3k} - S_{2k}(k \in \mathbf{N}^{*})$在$k$为偶数时不是等比数列，在$k$为奇数时是等比数列；
2.当$q \neq - 1$时，数列$S_{k},S_{2k} - S_{k},S_{3k} - S_{2k}(k \in \mathbf{N}^{*})$是等比数列.

4. 等比数列 $\{ a_{n}\}$ 共有 $2n + 1$ 项，其中 $a_{1} = 2$，偶数项的和为 $84$，奇数项的和为 $170$，则 $n = ($ $)$

A.$3$
B.$4$
C.$7$
D.$9$

答案： 4.A 解析：
∵等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n + 1$项，
∴等比数列中偶数项有$n$项，奇数项有$n + 1$项.
由题意得$q \neq \pm 1$，
∴偶数项的和为$\frac{a_{1}q(1 - q^{2n})}{1 - q^{2}} = 84$，
∴$\frac{q^{2} - q^{2n + 2}}{1 - q^{2}} = 42q$，奇数项的和为$\frac{a_{1}(1 - q^{2n + 2})}{1 - q^{2}} = 170$，
∴$\frac{1 - q^{2n + 2}}{1 - q^{2}} = 85$.
两式相减得$- 1 = 42q - 85$，解得$q = 2$，
∴$\frac{2 × 2(1 - 4^{n})}{1 - 4} = 84$，即$4^{n} = 64$，解得$n = 3$.
故选A.

5. 已知等比数列 $\{ a_{n}\}$ 共有 $2n$ 项，其和为 $-240$，且奇数项的和比偶数项的和大 $80$，则公比 $q =$2.

答案： 5.2 解析：设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$2n$项中奇数项的和、偶数项的和分别为$S_{奇},S_{偶}$.
由题意得$\begin{cases} S_{奇} + S_{偶} = - 240, \\S_{奇} - S_{偶} = 80, \end{cases}$
∴$S_{奇} = - 80,S_{偶} = - 160$，
∴$q = \frac{S_{偶}}{S_{奇}} = \frac{- 160}{- 80} = 2$.
方法总结
公比为$q$的等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$的性质
(1)$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n}$仍构成等比数列(注意：$q \neq - 1$).
(2)$S_{m + n} = S_{m} + q^{m}S_{n}$.
(3)若$\{ a_{n}\}$的项数为偶数，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}} = q$；
若$\{ a_{n}\}$的项数为奇数，则$\frac{S_{奇} - a_{1}}{S_{偶}} = q$.

6. $[2024$ 江西赣州厚德外国语学校高二期末$]$ 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2n - 1}{2^{n - 1}}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，则数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $100$ 项之和为$6 - \frac{203}{2^{99}}$.

答案： 6.$6 - \frac{203}{2^{99}}$ 解析：令数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，
因为$a_{n} = \frac{2n - 1}{2^{n - 1}}$，则$S_{n} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^{2}} + ·s + \frac{2n - 1}{2^{n - 1}}$，
则有$\frac{1}{2}S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + ·s + \frac{2n - 3}{2^{n - 1}} + \frac{2n - 1}{2^{n}}$，
两式相减得，$\frac{1}{2}S_{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + ·s + \frac{1}{2^{n - 2}} - \frac{2n - 1}{2^{n}} =$
$1 + \frac{1 - \frac{1}{2^{n - 1}}}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{2n - 1}{2^{n}} = 3 - \frac{2n + 3}{2^{n}}$，
因此$S_{n} = 6 - \frac{2n + 3}{2^{n - 1}}$，有$S_{100} = 6 - \frac{203}{2^{99}}$，
所以数列$\{ a_{n}\}$的前$100$项之和为$6 - \frac{203}{2^{99}}$.

7. 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + 2n$.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若 $b_{n} = 2^{n}a_{n}$，求数列 $\{ b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.

答案： 7.解：
(1)当$n \geqslant 2$且$n \in \mathbf{N}^{*}$时，$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n^{2} + 2n - \lbrack(n - 1)^{2} +$
$2(n - 1)\rbrack = 2n + 1$.
当$n = 1$时，$a_{1} = S_{1} = 1^{2} + 2 × 1 = 3$，满足上式，
∴数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 2n + 1$.
(2)由
(1)知$b_{n} = 2^{n}a_{n} = (2n + 1)2^{n}$，
∴$T_{n} = 3 × 2 + 5 × 2^{2} + 7 × 2^{3} + ·s + (2n - 1)2^{n - 1} + (2n + 1)2^{n}$，①
$2T_{n} = 3 × 2^{2} + 5 × 2^{3} + 7 × 2^{4} + ·s + (2n - 1)2^{n} + (2n + 1) ·$
$2^{n + 1}$.②
① - ②，得$- T_{n} = 3 × 2 + 2 × 2^{2} + 2 × 2^{3} + ·s + 2 × 2^{n} - (2n + 1) ·$
$2^{n + 1} = 6 + \frac{2^{3} × (1 - 2^{n - 1})}{1 - 2} - (2n + 1)2^{n + 1} = - (2n - 1)2^{n + 1} - 2$，
∴$T_{n} = (2n - 1)2^{n + 1} + 2$.
方法总结
错位相减法求和
1.一般步骤
(1)写出前$n$项和的表达式，作为①式；写该式时，每一项都要表示成积的形式，且前面是等差数列的对应项，后面是等比数列的对应项.
(2)①式两边同乘公比，得②式；
(3)①式减去②式时，右边相减时注意错位(次数相同的项相减)；
(4)对相减后的等式的右边求和化简；
(5)系数化为$1$，求得结果.
2.适用范围
它主要适用于$\{ a_{n}\}$是等差数列，$\{ b_{n}\}$是等比数列，求数列$\{ a_{n}b_{n}\}$的前$n$项和.
3.注意事项
(1)利用“错位相减法”时，在写出$S_{n}$与$qS_{n}$的表达式时，应注意使两式错位对齐，以便于作差，正确写出$(1 - q)S_{n}$的表达式.
(2)利用此法时要注意讨论公比$q$是否等于$1$.

8. $[2024$ 山东莱芜一中高二检测$]$ 中国古代数学著作中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关.”其意思为有一个人走 $254$ 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 $7$ 天后到达目的地，请问第四天走了$($ $)$

A.$64$ 里
B.$32$ 里
C.$16$ 里
D.$8$ 里

答案： 8.C 解析：设此人每天走的路程构成数列$\{ a_{n}\}$，数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，由题设知数列$\{ a_{n}\}$是公比$q = \frac{1}{2}$的等比数列.
∵$S_{7} = \frac{a_{1}(1 - \frac{1}{2^{7}})}{1 - \frac{1}{2}} = 254$，解得$a_{1} = 128$，
∴$a_{4} = a_{1}q^{3} = 128 × (\frac{1}{2})^{3} = 16$.

9. $[2024$ 山东泰安高二期末$]$ 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺……”.其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的 $2$ 倍，$5$ 天共织了 $5$ 尺布……”.那么该女子第一天织布的尺数为$($ $)$

A.$\frac{4}{31}$
B.$\frac{5}{31}$
C.$\frac{6}{31}$
D.$\frac{10}{31}$

答案： 9.B 解析：设第一天织布的尺数为$x$，则$x(1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}) =$
$5$，可得$x · \frac{2^{5} - 1}{2 - 1} = 5$，解得$x = \frac{5}{31}$.故选B.

10. 某人从 $2018$ 年起，每年的 $1$ 月 $1$ 日到银行存入 $a$ 元的一年定期储蓄，若年利率为 $P$ 且保持不变，并约定每年到期的本息均自动转为新的一年定期储蓄，到 $2024$ 年 $1$ 月 $1$ 日将所有本金及利息全部取出，则可取出的金额是$($ $)$

A.$a(1 + P)^{6}$ 元
B.$a(1 + P)^{7}$ 元
C.$\frac{a}{P}[(1 + P)^{6} - (1 + P)]$ 元
D.$\frac{a}{P}[(1 + P)^{7} - (1 + P)]$ 元

答案： 10.D 解析：由题意，2018年1月1日存入$a$元，一年后本金及利息为$a(1 +$
$P)$元，两年后本金及利息为$a(1 + P)^{2}$元，⋯，依此类推，可得从2018年1月1日到2024
年1月1日，所有的本金及利息为$a(1 + P)^{6} + a(1 +$
$P)^{5} + ·s + a(1 + P) = \frac{a(1 + P)[1 - (1 + P)^{6}]}{1 - (1 + P)} = \frac{a}{P}[(1 + P)^{7} -$
$(1 + P)]$元.

11. 设 $f(n) = 2 + 2^{4} + 2^{7} + ·s + 2^{3n + 10} (n \in \mathbf{N}^{*})$，则 $f(n) =$$\frac{2}{7}(8^{n + 4} - 1)$.

答案： 11.$\frac{2}{7}(8^{n + 4} - 1)$ 解析：
∵数列$2,2^{4},·s,2^{3n + 10}$是首项为$2$，公比为$2^{3} = 8$，项数为$n + 4$的等比数列，
∴$f(n) =$
$\frac{2(1 - 8^{n + 4})}{1 - 8} = \frac{2}{7}(8^{n + 4} - 1)$.
◇◇易错警示◇◇◇
本题容易错误地认为项数为$n$.等比数列的项数需通过计算得出，不能盲目地认为数列的项数都为$n$，从而造成错解.