《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

10. [$\overset{―}{2024 黑龙江大庆}$铁人中学高二期中]已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且满足$a_{100} = 2023$，$a_{2023} = 100$，则$a_{2123}$的值为(D)

A.$2033$
B.$2123$
C.$123$
D.$0$

答案： 10.D 解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，
则$d=\frac{a_{2023}-a_{100}}{2023-100}=-1，$
所以a₁₂₃=a₁₀₀+(2123-100)d=2023-2023=0.

11. [$\overset{―}{2024 山东临沂}$十九中高二期中]设$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1 = 3$，$a_2 + a_4 = 14$，若$a_m = 37$，则$m =$18.

答案： 11.18 解析：设该等差数列的公差为d，因为a₁=3，a₂+a₄=14，所以3+d+3+3d=14，所以d=2.由aₙ=37，得3+2(m-1)=37，所以m=18.

12. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 + a_2 + a_3 = 32$，$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 118$，则$a_4 + a_{10} =$ (B)

A.$45$
B.$50$
C.$75$
D.$60$

答案： 12.B 解析：因为在等差数列{aₙ}中，a₁+a₂+a₃=32，a₁₁+a₁₂+a₁₃=118，所以$a₂=\frac{32}{3}，$$a₁₂=\frac{118}{3}，$
所以a₄+a₁₀=a₂+a₁₂=50。
方法总结
在解决等差数列的运算问题时，有两个处理思路：
一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差的问题，虽有一定的运算量，但思路简捷，目标明确；
二是利用等差数列的性质，等差数列的性质是其基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用。

13. [$\overset{―}{2024 山西大学}$附中高二中]在等差数列$\{a_n\}$中，$a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 450$，则$a_3 + a_{11}$的值为(C)

A.$45$
B.$75$
C.$180$
D.$300$

答案： 13.C 解析：由a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=(a₅+a₉)+(a₆+a₈)+a₇=5a₇=450，得a₇=90，
则a₃+a₁₁=2a₇=180.故选C.

14. [$\overset{―}{2024 重庆}$七中高二期末]已知$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1 + a_4 + a_7 = 15$，$a_2 + a_5 + a_8 = 24$，则$a_3 + a_6 + a_9$的值为(D)

A.$24$
B.$27$
C.$30$
D.$33$

答案： 14.D 解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₂+a₅+a₈-(a₁+a₄+a₇)=3d，a₃+a₆+a₉-(a₂+a₅+a₈)=3d，所以a₁+a₄+a₇,a₂+a₅+a₈,a₃+a₆+a₉也成等差数列，所以a₁+a₄+a₇=2(a₂+a₅+a₇)-(a₁+a₄+a₇)=2×24-15=33.故选D.

15. [$\overset{―}{2024 北京}$首都师大附中高二检测]已知等差数列$\{a_n\}$单调递增，且满足$a_1 + a_8 = 6$，则$a_6$的取值范围是(C)

A.$(-\infty, 3)$
B.$(3, 6)$
C.$(3, +\infty)$
D.$(6, +\infty)$

答案： 15.C 解析：设公差为d，因为数列{aₙ}单调递增，所以d＞0，所以a₁+a₈=a₃+a₆=2a₆-3d=6，则2a₆-6=3d＞0，解得a₆＞3.
延伸
等差数列递增⇔公差d＞0，等差数列递减⇔公差d＜0。

16. [$\overset{―}{2024 南京}$高二检测]若数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 15$，且$3a_{n+1} = 3a_n - 2$，则使$a_k · a_{k+1} ＜ 0$的$k$值为(D)

A.$22$
B.$21$
C.$24$
D.$23$

答案： 16.D 解析：因为3aₙ₊₁=3aₙ-2，所以$aₙ₊₁-aₙ=-\frac{2}{3}，$所以数列{aₙ}是首项为15，公差为$-\frac{2}{3}$的等差数列，所以$aₙ=15-\frac{2}{3}(n-1)=-\frac{2}{3}n+\frac{47}{3}.$因为aₖ·aₖ₊₁＜0，公差d＜0，所以aₖ＞0，aₖ₊₁＜0，解得22.5＜k＜23.5，所以k=23，
所以使aₖ·aₖ₊₁＜0的k值为23。
k是正整数。
方法技巧
对一个等差数列，若aₖ·aₖ₊₁＜0，则第k项与第(k+1)项就是数列正、负项的分界。

17. 已知等差数列$\{a_n\}$是递增数列，且$a_1 + a_2 + a_3 \leq 3$，$a_7 - 3a_3 \leq 8$，则$a_4$的取值范围为(-4,11].

答案： 17.(-4,11] 解析：
∵等差数列{aₙ}是递增数列，且a₁+a₂+a₃≤3，
∴a₂≤1，公差d＞0。又
∵a₇-3a₃≤8，
∴a₁+6d-3(a₁+2d)=-2a₁≤8，
∴a₁≥-4，则0＜d=a₂-a₁≤5，
∴a₄=a₁+3d＞-4，a₄=a₁+2d≤1+10=11，
∴a₄的取值范围为(-4,11]。

18. 已知$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$，则数列$\{a_n\}$的第34项为(C)

A.$\frac{34}{103}$
B.$100$
C.$\frac{1}{100}$
D.$\frac{1}{104}$

答案： 18.C 解析：由$aₙ₊₁=\frac{aₙ}{3aₙ+1}，$得$\frac{1}{aₙ₊₁}=\frac{3aₙ+1}{aₙ}=\frac{1}{aₙ}+3，$所以$\frac{1}{aₙ₊₁}-\frac{1}{aₙ}=3。$
解题关键：取倒数并拆项。
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{a₁}=1，$
∴数列${\frac{1}{aₙ}}$是首项为1，公差为3的等差数列，
∴$\frac{1}{aₙ}=1+3(n-1)=3n-2，$
∴$aₙ=\frac{1}{3n-2}，$
∴$a₃₄=\frac{1}{100}$
方法总结
当数列{aₙ}的递推关系形如$“aₙ₊₁=\frac{aₙ}{qaₙ+p}”(p，$
q∈R)时，一般用“取倒数”的方法推导通项公式。

19. 已知数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_{n-1} - a_n = a_n a_{n-1} (n \geq 2, n \in \mathbb{N}^*)$，则$a_n =$$\frac{1}{n}$

答案： $19.\frac{1}{n} $解析：易知aₙ≠0，因为数列{aₙ}满足aₙ₋₁-aₙ
=aₙaₙ₋₁(n≥2，n∈N⁎)，所以$\frac{1}{aₙ}-\frac{1}{aₙ₋₁}=1(n≥2，$
n∈N⁎)，故数列${\frac{1}{aₙ}}$是首项为1，公差为1的等差数列，所以$\frac{1}{aₙ}=1+(n-1)×1=n，$所以$aₙ=\frac{1}{n}$
解题关键
当数列的递推关系形如“aₙ-aₙ₊₁=maₙ·aₙ₊₁”(n∈N⁎，
m∈R，aₙ＞0)时，一般采取等式两边同除以“aₙ·aₙ₊₁”的方法转化为公差是m的等差数列，再由此等差数列进一步解决问题。

20. [$\overset{―}{2024 南昌}$高二检测]已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1} = 2a_n + 3 · 2^n$，$a_1 = 2$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为$aₙ=(3n-1)2^{n-1}$.

答案： $20.aₙ=(3n-1)2^{n-1} $解析：将等式aₙ₊₁=2aₙ+3·2ⁿ两边同时除以$2^{n+1}，$得$\frac{aₙ₊₁}{2^{n+1}}=\frac{aₙ}{2ⁿ}+\frac{3}{2}，$所以${\frac{aₙ}{2ⁿ}}$是以$\frac{a₁}{2}=1$为首项，$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，则$\frac{aₙ}{2ⁿ}=1+\frac{3}{2}(n-1)=\frac{1}{2}(3n-1)，$所以$aₙ=(3n-1)2^{n-1}。$

21. 有穷等差数列$5,8,11, ·s, 3n+11 (n \in \mathbb{N}^*)$的项数是(D)

A.$n$
B.$3n+11$
C.$n+4$
D.$n+3$

答案： 21.D 解析：
∵数列5,8,11，⋯，3n+11(n∈N⁎)是等差数列，
∴公差d=8-5=3，则其通项公式aₙ=5+3(n-1)
=3n+2。
∵3n+11=3(n+3)+2，
∴3n+11是数列的第(n+3)
项。故这个数列的项数为n+3。
易错警示
本题易误认为aₙ=3n+11，其实3n+11为数列的最后一项，而不是第n项。

22. 若等差数列的首项为$\frac{1}{25}$，且从第10项开始各项均大于1，则公差$d$的取值范围是(D)

A.$(\frac{8}{75}, +\infty)$
B.$(-\infty, \frac{3}{25})$
C.$(\frac{8}{75}, \frac{3}{25})$
D.$[\frac{8}{75}, \frac{3}{25}]$

答案： 22.D 解析：
∵数列从第10项开始比1大，
∴$\begin{cases}a_{10}＞1,\\a₉≤1,\end{cases}$
则$\begin{cases}\frac{1}{25}+9d＞1,\frac{1}{25}+8d≤1,\end{cases}$
解得$\frac{8}{75}＜d≤\frac{3}{25}。$
易错警示
解答本题易出现的错误是忽略隐含条件a₉的取值范围，导致公差的取值范围变大。

23. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为-4.

答案： 23.-4 解析：设该数列为{aₙ}，公差为d，且d为整数.由题意得a₆=a₁+5d＞0，a₇=a₁+6d＜0，所以23+5d＞0，且23+6d＜0，解得$-\frac{23}{5}＜d＜-\frac{23}{6}.$又d为整数，所以公差d=-4.
易错警示
求解本题的关键是根据题意正确列出满足条件的不等式组，求解时要注意d∈Z.

24. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = n^2 + 3n + 2$，判断$\{a_n\}$是不是等差数列.

答案： 24.解：当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁
=(n²+3n+2)-[(n-1)²+3(n-1)+2]=2n+2.
当n=1时，a₁=6不满足上式，
∴$aₙ=\begin{cases}6,n=1,\\2n+2,n≥2.\end{cases}$
∵a₂-a₁≠a₃-a₂，
∴{aₙ}不是等差数列。
易错警示
aₙ=2n+2中n的最小值是2，因此使用aₙ₊₁-aₙ时n的最小值是2，只能得到a₂-a₁=a₃-a₂=⋯，而不含a₂-a₁。