《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知公比为 $q ( q \neq 1 )$ 的等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 的前 $n$ 项和为 $S$${ n }$，则数列 $\{ \frac { 1 } { a$${ n } } \}$ 的前 $n$ 项和为(D)

A.$\frac{q ^ { n }}{S$${ n }}$
B.$\frac { S$${ n } }{ q ^ { n } }$
C.$\frac { 1 } { S$${ n } q ^ { n - 1 } }$
D.$\frac { S$${ n } } { a$${ 1 } ^ { 2 } q ^ { n - 1 } }$

答案： 1.D 解析：数列$\left\{ \begin{array}{l} 1 \\ a$_________${ n } \end{array} \right\}$仍为等比数列，且首项为$\frac {1} { a$_________${ 1 } }$，公比为$\frac {1} { q }$，所以数列$\left\{ \begin{array}{l} 1 \\ a$_________${ n } \end{array} \right\}$的前 n 项和$S$_________${ n } ^ { \prime } = \frac { \frac {1} { a$_________${ 1 } } ( 1 - \frac {1} { q ^ { n } } ) } { 1 - \frac {1} { q } } = \frac { a$_________${ 1 } ( q ^ { n } - 1 ) } { a$_________${ 1 } ^ { 2 } q ^ { n - 1 } ( q - 1 ) } = \frac { S$_________${ n } } { a$_________${ 1 } ^ { 2 } q ^ { n - 1 } }$
点评 本题可作为等比数列的一个二级结论来记.

2. 已知数列 $\{ a$${ n } \}$ 的前 $n$ 项和 $S$${ n } = a ^ { n } - 1 ( a$ 是不为零的常数)，则数列 $\{ a$${ n } \}$ (C)

A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或是等差数列，或是等比数列
D.既非等差数列，也非等比数列

答案： 2.C 解析：由$S$_________${ n } = a ^ { n } - 1$知，当$a = 1$时，$S$_________${ 1 } = 0$，此时数列$\{ a$_________${ n } \}$为等差数列($a$_________${ n } = 0$).
当$a \neq 1$时，$a$_________${ 1 } = a - 1$，$a$_________${ n } = S$_________${ n } - S$_________${ n - 1 } = a ^ { n } - 1 - ( a ^ { n - 1 } - 1 ) = a ^ { n } - a ^ { n - 1 }$，
则$a$_________${ n - 1 } = a ^ { n - 1 } - a ^ { n - 2 }$，$\frac { a$_________${ n } } { a$_________${ n - 1 } } = \frac { a ^ { n } - a ^ { n - 1 } } { a ^ { n - 1 } - a ^ { n - 2 } } = a$，$n \geq 2$.
故数列$\{ a$_________${ n } \}$是首项为$a - 1$，公比为$a ( a \neq 1 )$的等比数列.

3. 已知数列 $\{ a$${ n } \}$ 是以 $b$ 为首项，$a$ 为公比的等比数列，设 $S$${ n }$ 是其前 $n$ 项和，对任意的 $n \in N ^ { * }$，则(B)

A.点$( S$${ n } , S$${ n + 1 } )$ 在直线 $y = a x - b$ 上
B.点$( S$${ n } , S$${ n + 1 } )$ 在直线 $y = a x + b$ 上
C.点$( S$${ n } , S$${ n + 1 } )$ 在直线 $y = b x - a$ 上
D.点$( S$${ n } , S$${ n + 1 } )$ 在直线 $y = b x + a$ 上

答案： 3.B 解析：当$a \neq 1$时，$S$_________${ n } = \frac { b ( 1 - a ^ { n } ) } { 1 - a }$
$S$_________${ n + 1 } = \frac { b ( 1 - a ^ { n + 1 } ) } { 1 - a } = \frac { b - b · a ^ { n + 1 } } { 1 - a }$
$= \frac { a · b ( 1 - a ^ { n } ) + b - a b } { 1 - a }$
$= a · S$_________${ n } + b$，
此时，点$( S$_________${ n } , S$_________${ n + 1 } )$在直线$y = a x + b$上；
当$a = 1$时，$S$_________${ n } = n b$，$S$_________${ n + 1 } = ( n + 1 ) b = n b + b = S$_________${ n } + b$，
此时，点$( S$_________${ n } , S$_________${ n + 1 } )$在直线$y = a x + b$上.
综上所述，点$( S$_________${ n } , S$_________${ n + 1 } )$在直线$y = a x + b$上.

4. [2024 江西中期中] 设等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 的前 $n$ 项和为 $S$${ n }$，若 $a$${ 2 } = 2$，且 $a$${ 2 } , a$${ 3 } , a$${ 4 } - 2$ 成等差数列，则 $S$${ 6 } =$ (A)

A.63
B.31
C.-63
D.-31

答案： 4.A 解析：设数列$\{ a$_________${ n } \}$的公比为$q ( q \neq 0 )$，
因为$a$_________${ 2 }$，$a$_________${ 3 }$，$a$_________${ 4 } - 2$成等差数列，
所以$2 a$_________${ 3 } = a$_________${ 2 } + a$_________${ 4 } - 2$，则$2 × 2 q = 2 + 2 q ^ { 2 } - 2$，
解得$q = 2$或$q = 0$(舍去).
因为$a$_________${ 2 } = 2$，所以$a$_________${ 1 } = 1$，
故$S$_________${ 6 } = \frac { 1 - 2 ^ { 6 } } { 1 - 2 } = 6 3$.

5. [ 泉州 2024 高二检测] 记正项等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 的前 $n$ 项和为 $S$${ n }$，若 $a$${ 3 } = 4$，$S$${ 4 } = 5 S$${ 2 }$，则 $S$${ 6 } =$ (D)

A.2
B.-21
C.32
D.63

答案： 5.D 解析：设正项等比数列$\{ a$_________${ n } \}$的公比为$q ( q ＞ 0 )$，
因为$\begin{cases} a$_________${ 3 } = 4, \\ S$_________${ 4 } = 5 S$_________${ 2 }, \end{cases}$所以$\begin{cases} a$_________${ 1 } q ^ { 2 } = 4, \\ a$_________${ 1 } + a$_________${ 1 } q + a$_________${ 1 } q ^ { 2 } + a$_________${ 1 } q ^ { 3 } = 5 ( a$_________${ 1 } + a$_________${ 1 } q ), \end{cases}$
即$\begin{cases} a$_________${ 1 } q ^ { 2 } = 4, \\ q ^ { 2 } + q ^ { 3 } = 4 ( 1 + q ), \end{cases}$解得$\begin{cases} q = 2, \\ a$_________${ 1 } = 1, \end{cases}$
所以$S$_________${ 6 } = \frac { 1 × ( 1 - 2 ^ { 6 } ) } { 1 - 2 } = 2 ^ { 6 } - 1 = 6 3$.
方法总结
等比数列前 n 项和公式的选用方法
当$q = 1$时，$\{ a$_________${ n } \}$为常数列，使用公式$S$_________${ n } = n a$_________${ 1 }$.
当$q \neq 1$时，已知首项和公比时使用公式$S$_________${ n } = \frac { a$_________${ 1 } ( 1 - q ^ { n } ) } { 1 - q }$
已知首项、公比、末项时使用公式$S$_________${ n } = \frac { a$_________${ 1 } - a$_________${ n } q } { 1 - q }$

6. [2024 江苏检测] 已知等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 为递增数列，设其前 $n$ 项和为 $S$${ n }$，若 $a$${ 2 } = 2$，$S$${ 3 } = 7$，则 $a$${ 5 }$ 的值为(A)

A.16
B.32
C.8
D.$\frac { 1 } { 4 }$

答案： 6.A 解析：依题意，设等比数列$\{ a$_________${ n } \}$的公比为$q$，
则$\begin{cases} a$_________${ 1 } q = 2, \\ a$_________${ 1 } ( 1 - q ^ { 3 } ) = 7, \end{cases}$解得$\begin{cases} a$_________${ 1 } = 1, \\ q = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} a$_________${ 1 } = 4, \\ q = \frac { 1 } { 2 } \end{cases}$(舍去)，
所以$a$_________${ 5 } = a$_________${ 1 } q ^ { 4 } = 1 × 2 ^ { 4 } = 1 6$.
不可忽略.

7. [2024 江苏检测] 在等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 中，$S$${ n }$ 为其前 $n$ 项和，且 $S$${ 3 } = 3 a$${ 3 }$，则它的公比 $q$ 的值为(C)

A.1
B.$- \frac { 1 } { 2 }$
C.1 或 $- \frac { 1 } { 2 }$
D.1 或 -2

答案： 7.C 解析：当$q = 1$时，$a$_________${ n } = a$_________${ 1 }$，$S$_________${ 3 } = 3 a$_________${ 1 } = 3 a$_________${ 3 }$满足条件.
当$q \neq 1$时，由已知$S$_________${ 3 } = 3 a$_________${ 3 }$可得$\frac { a$_________${ 1 } ( 1 - q ^ { 3 } ) } { 1 - q } = 3 a$_________${ 1 } · q ^ { 2 }$，
显然$a$_________${ 1 } \neq 0$，
所以$1 + q - 2 q ^ { 2 } = 0$，解得$q = 1$(舍去)或$q = - \frac { 1 } { 2 }$.
综上可得，$q = 1$或$q = - \frac { 1 } { 2 }$.
易错警示
1.易忽视$q = 1$这一情况，从而得出错解.
2.在用等比数列的求和公式求和前，应先判断公比$q$是不是 1，然后选择相应公式求解，若不能判断公比$q$是不是 1，则需分$q = 1$，$q \neq 1$两种情况讨论.

8. [数学文化] [ 烟台龙口一中 2024 高二期末] 《算法统宗》是我国古代的一部数学名著，其中记载了如下问题“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一”，意思为“一座 7 层塔，相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，且共悬挂了 381 盏灯”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为(B)

A.12
B.24
C.48
D.96

答案： 8.B 解析：由题意知，从上到下灯塔每层的灯数构成等比数列$\{ a$_________${ n } \}$，设顶层的灯数为$a$_________${ 1 }$，前 n 项和为$S$_________${ n }$，
则$\{ a$_________${ n } \}$为公比为 2 的等比数列，
根据题意有$S$_________${ 7 } = \frac { a$_________${ 1 } ( 1 - 2 ^ { 7 } ) } { 1 - 2 } = 3 8 1$，解得$a$_________${ 1 } = 3$，
$\therefore a$_________${ 4 } = a$_________${ 1 } × 2 ^ { 3 } = 3 × 2 ^ { 3 } = 2 4$.
故塔的正中间一层悬挂灯的数量为 24.

9. [2024 江苏] 已知等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 中，$a$${ n } ＞ 0$，其前 $n$ 项和为 $S$${ n }$，前 $n$ 项积为 $T$${ n }$，且 $S$${ 2 } = 4 8$，$S$${ 4 } = 60$，则使得 $T$${ n } ＜ 1$ 成立的正整数 $n$ 的最小值为(D)

A.9
B.10
C.11
D.12

答案： 9.D 解析：$\because S$_________${ 2 } = 4 8$，$S$_________${ 4 } = 6 0$，$\therefore a$_________${ 1 } + a$_________${ 2 } = 4 8$，
$a$_________${ 1 } + a$_________${ 2 } + a$_________${ 3 } + a$_________${ 4 } = 6 0$，即$\begin{cases} a$_________${ 1 } + a$_________${ 2 } = 4 8, \\ a$_________${ 3 } + a$_________${ 4 } = 1 2, \end{cases}$
则$a$_________${ 3 } + a$_________${ 4 } = ( a$_________${ 1 } + a$_________${ 2 } ) q ^ { 2 } = 1 2$，$\therefore q ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 }$
$\therefore q = \frac { 1 } { 2 }$或$q = - \frac { 1 } { 2 }$.
又$a ＞ 0$，$\therefore q = \frac { 1 } { 2 }$，$\therefore a$_________${ 1 } + a$_________${ 1 } q = \frac { 3 } { 2 } a$_________${ 1 } = 4 8$，
$\therefore a$_________${ 1 } = 3 2$，$\therefore a$_________${ n } = 3 2 × ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { n - 1 } = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { n - 6 }$，
$T$_________${ n } = a$_________${ 1 } a$_________${ 2 } ·s a$_________${ n } = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { - 5 - 4 + ·s + n - 6 } = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { n ( n - 1 1 ) } { 2 } } ＜ 1 = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 0 }$，
$\therefore \frac { n ( n - 1 1 ) } { 2 } ＞ 0$，解得$n ＞ 1 1$，
$\therefore n$_________${ m i n } = 1 2$.

10. [ 海淀区 2023 高二期末] 已知数列 $\{ a$${ n } \}$ 满足 $a$${ 1 } = 2$，$a$${ n + 1 } - 2 a$${ n } = 0 ( n = 1 , 2 , ·s )$，则 $\{ a$${ n } \}$ 的前 6 项和为126 .

答案： 10.126 解析：因为$a$_________${ n + 1 } - 2 a$_________${ n } = 0$，$a$_________${ 1 } = 2 \neq 0$，
所以$a$_________${ n } \neq 0$，$\frac { a$_________${ n + 1 } } { a$_________${ n } } = 2$，
所以数列$\{ a$_________${ n } \}$是以 2 为首项，
2 为公比的等比数列，
所以$\{ a$_________${ n } \}$的前 6 项和为$S$_________${ 6 } = \frac { 2 × ( 1 - 2 ^ { 6 } ) } { 1 - 2 } = 1 2 6$.

11. 数列 $1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 2 ^ { 2 } , 1 + 2 + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 3 } , 1 + 2 + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 3 } + 2 ^ { 4 }$，$·s$ 的前 $n$ 项和 $S$${ n } =$$2^{n+1}-n-2$ .

答案： 11.2^{n+1}-n-2 解析：由题意可得，
$a$_________${ n } = 1 + 2 + 2 ^ { 2 } + ·s + 2 ^ { n - 1 } = \frac { 1 - 2 ^ { n } } { 1 - 2 } = 2 ^ { n } - 1$，
$\therefore S$_________${ n } = ( 2 - 1 ) + ( 2 ^ { 2 } - 1 ) + ·s + ( 2 ^ { n } - 1 )$ 解题关键
$ = ( 2 + 2 ^ { 2 } + ·s + 2 ^ { n } ) - n = 2 ^ { n + 1 } - n - 2$.

12. [2024 河南洛阳检测] 已知各项均为正数且单调递减的等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 满足 $a$${ 3 } , \frac { 3 } { 2 } a$${ 4 } , 2 a$${ 5 }$ 成等差数列，其前 $n$ 项和为 $S$${ n }$，且 $S$${ 5 } = 31$，则通项 $a$${ n } =$$(\frac{1}{2})^{n-5}$ .

答案： 12.(\frac{1}{2})^{n-5} 解析：由$a$_________${ 3 }$，$\frac { 3 } { 2 } a$_________${ 2 }$，$2 a$_________${ 5 }$成等差数列，得$3 a$_________${ 4 } = a$_________${ 3 } + 2 a$_________${ 5 }$设$\{ a$_________${ n } \}$的公比为$q$，则$2 q ^ { 2 } - 3 q + 1 = 0$，解得$q = \frac { 1 } { 2 }$或$q = 1$(舍去)，所以$S$_________${ 5 } = \frac { a$_________${ 1 } ( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } } ) } { 1 - \frac { 1 } { 2 } } = 31$，
不符合$\{ a$_________${ n } \}$为递减数列.
解得$a$_________${ 1 } = 1 6$，所以数列$\{ a$_________${ n } \}$的通项公式为
$a$_________${ n } = 1 6 × ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { n - 1 } = ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { n - 5 }$.
方法总结
1.解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用$a$_________${ 1 }$，$a$_________${ n }$，$q$，$n$，$S$这五个基本量的关系列出关于$a$_________${ 1 }$与$q$的方程组求解.
2.运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比$q = 1$和$q \neq 1$两种情形，在解方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元.

13. 数列 $1 , x , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } , ·s , x ^ { n - 1 } , ·s ( x \neq 0 )$ 的前 $n$ 项和是 .

答案： 13.\begin{cases} n , x = 1 , \\ \frac { 1 - x ^ { n } } { 1 - x } , x \neq 1 \end{cases} 解析：数列$1 , x , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } , ·s , x ^ { n - 1 } , ·s ( x \neq 0 )$
是公比为$x$的等比数列.
当公比$x = 1$时，$1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + ·s + x ^ { n - 1 } = 1 + 1 + 1 + ·s + 1 = n$；
当公比$x \neq 1$时，$1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + ·s + x ^ { n - 1 } = \frac { 1 - x ^ { n } } { 1 - x }$
$\therefore 1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + ·s + x ^ { n - 1 } = \begin{cases} n , x = 1 , \\ \frac { 1 - x ^ { n } } { 1 - x } , x \neq 1 \end{cases}$.
易错警示
当公比的值未知时，要分其值为 1 和不为 1 两种情况讨论.

14. [2024 江苏检测] 在等比数列 $\{ a$${ n } \}$ 中，已知 $a$${ 6 } - a$${ 4 } = 24$，$a$${ 3 } · a$${ 5 } = 64$，求数列 $\{ a$${ n } \}$ 的前 8 项和.

答案： 14.解：(方法 1)设数列$\{ a$_________${ n } \}$的公比为$q$，前 n 项和为$S$_________${ n }$，
由已知条件得$a$_________${ 6 } - a$_________${ 4 } = a$_________${ 1 } q ^ { 3 } ( q ^ { 2 } - 1 ) = 2 4$①，
$a$_________${ 3 } · a$_________${ 5 } = ( a$_________${ 1 } q ^ { 3 } ) ^ { 2 } = 6 4$，
所以$a$_________${ 1 } q ^ { 3 } = \pm 8$.
将$a$_________${ 1 } q ^ { 3 } = - 8$代入①式，得$q ^ { 2 } = - 2$，没有实数$q$满足此式，故舍去.
将$a$_________${ 1 } q ^ { 3 } = 8$代入①式，得$q ^ { 2 } = 4$，所以$q = \pm 2$.
当$q = 2$时，$a$_________${ 1 } = 1$，所以$S$_________${ 8 } = \frac { a$_________${ 1 } ( 1 - q ^ { 8 } ) } { 1 - q } = 2 5 5$；
当$q = - 2$时，$a$_________${ 1 } = - 1$，所以$S$_________${ 8 } = \frac { a$_________${ 1 } ( 1 - q ^ { 8 } ) } { 1 - q } = 8 5$.
综上，数列$\{ a$_________${ n } \}$的前 8 项和为 255 或 85.
(方法 2)因为$\{ a$_________${ n } \}$是等比数列，设其公比为$q$，前 n 项和为$S$_________${ n }$，依题意得$a$_________${ 2 } ^ { 2 } = a$_________${ 3 } · a$_________${ 5 } = 6 4$，
所以$a$_________${ 4 } = \pm 8$.
因为$\frac { a$_________${ 6 } } { a$_________${ 4 } } = q ^ { 2 } ＞ 0$，所以舍去$a$_________${ 4 } = - 8$，所以$a$_________${ 4 } = 8$，
所以$a$_________${ 6 } = a$_________${ 4 } + 2 4 = 8 + 2 4 = 3 2$，
所以$a$_________${ 5 } = \pm \sqrt { a$_________${ 4 } · a$_________${ 6 } } = \pm \sqrt { 8 × 3 2 } = \pm 1 6$，所以$q = \frac { a$_________${ 5 } } { a$_________${ 4 } } = \pm 2$.
当$q = 2$时，$a$_________${ 1 } = 1$，$S$_________${ 8 } = 2 5 5$；
当$q = - 2$时，$a$_________${ 1 } = - 1$，$S$_________${ 8 } = 8 5$.
综上，数列$\{ a$_________${ n } \}$的前 8 项和为 255 或 85.
易错警示
在方法 1 中易忽略$q ^ { 2 } ＞ 0$这个隐含条件而致错；在方法 2 中，$a$_________${ 4 }$与$a$_________${ 6 }$同号是$\{ a$_________${ n } \}$为等比数列的隐含条件.