《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 若$y = \log_{a}(2x^{2} - 1)$，则$y^{\prime} = ( \quad )$

A.$\frac{4x}{(2x^{2} - 1)\ln a}$
B.$\frac{4x}{2x^{2} - 1}$
C.$\frac{1}{(2x^{2} - 1)\ln a}$
D.$\frac{2x^{2} - 1}{\ln a}$

答案： 1.A 解析：因为$y = \log_{a}(2x^{2} - 1)$，
所以$y' = \frac{(2x^{2} - 1)'}{(2x^{2} - 1)\ln a} = \frac{4x}{(2x^{2} - 1)\ln a}$。

2. [$\underset{2024}{山东}$潍坊高二期末]函数$y = e^{- 2x + 1}\cos( - x^{2} + x)$的导
数为(B)

A.$y^{\prime} = e^{- 2x + 1}\left\lbrack 2\sin\left( x^{2} - x \right) + (2x - 1)\cos\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack$
B.$y^{\prime} = - e^{- 2x + 1}\left\lbrack 2\cos\left( x^{2} - x \right) + (2x - 1)\sin\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack$
C.$y^{\prime} = - e^{- 2x + 1}\left\lbrack 2\sin\left( x^{2} - x \right) + (2x - 1)\cos\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack$
D.$y^{\prime} = e^{- 2x + 1}\left\lbrack 2\cos\left( x^{2} - x \right) + (2x - 1)\sin\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack$

答案： 2.B 解析：$\because y = e^{-2x + 1}\cos(-x^{2} + x)$，
$\therefore y' = (e^{-2x + 1})'\cos(-x^{2} + x) + e^{-2x + 1}[\cos(-x^{2} + x)]'$
$ = -2e^{-2x + 1}\cos(-x^{2} + x) - e^{-2x + 1}\sin(-x^{2} + x)·(-2x + 1)$
$ = -e^{-2x + 1}[2\cos(-x^{2} + x) + (-2x + 1)\sin(-x^{2} + x)]$
$ = -e^{-2x + 1}[2\cos(x^{2} - x) + (2x - 1)\sin(x^{2} - x)]$。

3. [多选题][$\underset{2024}{湖北}$高二联考]下列求导运算正确的有(BC)

A.$\left( \ln 7 \right)^{\prime} = \frac{1}{7}$
B.$\left\lbrack \left( x^{2} + 2 \right)\sin x \right\rbrack^{\prime} = 2x\sin x + \left( x^{2} + 2 \right)\cos x$
C.$\left( \frac{x^{2}}{e^{x}} \right)^{\prime} = \frac{2x - x^{2}}{e^{x}}$
D.$\left\lbrack \ln(3x + 2) \right\rbrack^{\prime} = \frac{1}{3x + 2}$

答案： 3.BC 解析：对于A，$(\ln 7)' = 0$，故A错误。
对于B，$[(x^{3} + 2)\sin x]' = (x^{3} + 2)'\sin x + (x^{3} + 2)(\sin x)' = 3x^{2}\sin x + (x^{3} + 2)\cos x$，故B正确。
对于C，$(\frac{x^{2}}{e^{x}})' = \frac{(x^{2})'e^{x} - x^{2}(e^{x})'}{(e^{x})^{2}} = \frac{2x - x^{2}}{e^{x}}$，故C正确。
对于D，$[\ln(3x + 2)]' = \frac{3}{3x + 2}$，故D错误。

4. 求下列函数的导数.
(1)$y = \left( 2x^{3} - x + \frac{1}{x} \right)^{4}$；
(2)$y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x^{2}}}$；
(3)$y = \sin^{2}\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$；
(4)$y = x\sqrt{1 + x^{2}}$.

答案： 4.解：
(1)$y' = [(2x^{3} - x + \frac{1}{x})]^{4}' = 4(2x^{3} - x + \frac{1}{x})^{3}(2x^{3} - x + \frac{1}{x})'$
$ = 4(2x^{3} - x + \frac{1}{x})^{3}(6x^{2} - 1 - \frac{1}{x^{2}})$。
(2)$y' = (\frac{1}{\sqrt{1 - 2x^{2}}})' = [(1 - 2x^{2})^{-\frac{1}{2}}]'$
根式化成分数指数幂后再求导。
$ = -\frac{1}{2}(1 - 2x^{2})^{-\frac{3}{2}}·(1 - 2x^{2})'$
$ = 2x(1 - 2x^{2})^{-\frac{3}{2}} = \frac{2x}{(1 - 2x^{2})^{\frac{3}{2}}}$。
(3)$y' = [\sin^{2}(2x + \frac{\pi}{3})]' = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})·[\sin(2x + \frac{\pi}{3})]'$
$ = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})·\cos(2x + \frac{\pi}{3})·(2x + \frac{\pi}{3})'$
$ = 2\sin(4x + \frac{2\pi}{3})$。
(4)$y' = (x\sqrt{1 + x^{2}})' = x'\sqrt{1 + x^{2}} + x(\sqrt{1 + x^{2}})'$
$ = \sqrt{1 + x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
$ = \frac{(1 + 2x^{2})\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$。
方法总结
1.求复合函数的导数的步骤
分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数
分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数
相乘：把上述求导的结果相乘
变量回代：把中间变量回代
2.求复合函数的导数的注意点
(1)分解后的函数通常为基本初等函数；
(2)求导时分清是对哪个变量求导；
(3)计算结果尽量简洁。

5. [$\underset{2024}{浙江}$金华高二检
测]已知$f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{2x}}$，则$f^{\prime}\left( \frac{1}{2} \right) = ( \quad )$

A.$- 2 - \ln 2$
B.$- 2 + \ln 2$
C.$2 - \ln 2$
D.$2 + \ln 2$

答案： 5.D 解析：因为$f'(x) = \frac{1}{x}·\sqrt{2x} - 2×\frac{1}{2}·(2x)^{-\frac{1}{2}}·\ln x$，
所以$f'(\frac{1}{2}) = \frac{2 + \ln 2}{1} = 2 + \ln 2$。

6. 设函数$f(x)$在$( - \infty, + \infty )$内的导函数为$f^{\prime}(x)$，
若$f(\ln x) = \frac{x + 1}{x}$，则$\frac{f(0)}{f^{\prime}(0)} =$ (B)

A.2
B.-2
C.1
D.$e+1$

答案： 6.B 解析：令$\ln x = t$，则$x = e^{t}$，
代入$f(\ln x) = \frac{x + 1}{x}$，
根式的求导应先化成分数指数幂。
得$f(t) = \frac{e^{t} + 1}{e^{t}} = 1 + \frac{1}{e^{t}} = 1 + e^{-t}$，
所以$f'(t) = -e^{-t}$，
所以$\frac{f(0)}{f'(0)} = \frac{1 + 1}{-1} = -2$。

7. [$\underset{2024}{山西}$怀仁一中高二检
测]已知函数$f(x) = e^{2x} + f^{\prime}(0) ·$ $\ln(x + 4)$，则$f^{\prime}(0) =$$\frac{8}{3}$.

答案： 7.$\frac{8}{3}$ 解析：$f'(x) = 2e^{2x} + \frac{f'(0)}{x + 4}$，
则$f'(0) = 2 + \frac{f'(0)}{4}$，
$f'(\frac{\pi}{3})$是常数。
解得$f'(0) = \frac{8}{3}$。

8. 已知函数$f(x) = f^{\prime}\left( \frac{\pi}{3} \right) · \sin x ·$ $\cos 2x$(其中$f^{\prime}(x)$为$f(x)$的
导函数)，则$f\left( \frac{\pi}{2} \right) =$0.

答案： 8.0 解析：$\because f'(x) = f'(\frac{\pi}{3})[(\sin x)'\cos 2x + \sin x(\cos 2x)']$
$ = f'(\frac{\pi}{3})(\cos x\cos 2x - 2\sin x\sin 2x)$，
$\therefore f'(\frac{\pi}{3}) = f'(\frac{\pi}{3})(\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{2\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{2\pi}{3})$
$ = -\frac{7}{4}f'(\frac{\pi}{3})$，
$\therefore f'(\frac{\pi}{3}) = 0,\therefore f(x) = 0,\therefore f'(\frac{\pi}{2}) = 0$。

9. [$\underset{2024}{陕西}$咸阳高二检
测]如果函数$f(x)$在包含$x_{0}$的某个
开区间$(a,b)$上具有$(n + 1)$阶导数，那么对于
$\forall x \in (a,b)$有$f(x) = \frac{f(x_{0})}{0!} + \frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x - x_{0}) +$ $\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x - x_{0})^{2} + ·s + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x - x_{0})^{n} + ·s$，若
取$x_{0} = 0$，则$f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f^{\prime}(0)}{1!}x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^{2} +$ $·s + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + ·s$，此时称该式为函数$f(x)$
在$x = 0$处的$n$阶泰勒公式.计算器正是利
用这一公式将$\sin x$，$\cos x$，$e^{x}$，$\ln x$，$\sqrt{x}$等函数
转化为多项式函数，通过计算多项式函数值
近似求出原函数的值，如$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} -$ $\frac{x^{7}}{7!} + ·s$，$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + ·s$，则运
用上面的想法求$2\cos\left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \right)\sin\frac{1}{2}$的近似值
为.

答案： 9.-0.46 解析：由三角恒等变换的公式，
化简得$2\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6})\sin\frac{1}{2} = -2\sin^{2}\frac{1}{2} = \cos 1 - 1$。
又由$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + ·s$，
可得$\cos 1 = 1 - \frac{1^{2}}{2!} + \frac{1^{4}}{4!} - \frac{1^{6}}{6!} + ·s = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + ·s$
$ \approx 1 - 0.5 + 0.042 - 0.001 + ·s \approx 0.54$，
所以$\cos 1 - 1 \approx -0.46$。

10. 已知直线$y = x + 1$与曲线$y = \ln(x + a)$相切，
则$a$的值为(B)

A.1
B.2
C.-1
D.-2

答案： 10.B 解析：设切点为$P(x_{0},y_{0})$，
则$y_{0} = x_{0} + 1,y_{0} = \ln(x_{0} + a)$。
对$y = \ln(x + a)$求导，得$y' = \frac{1}{x + a}$，
所以$y'|_{x = x_{0}} = \frac{1}{x_{0} + a} = 1$，所以$x_{0} + a = 1$，
所以$y_{0} = \ln(x_{0} + a) = 0$，所以$x_{0} = y_{0} - 1 = -1$，
所以$a = 1 - x_{0} = 2$。