《2025年把关题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [成都高二中期]已知函数$y = f(x)(x \in \mathbf{R})$的导函数$f'(x)$的图象如图所示，则函数$y = f(x)($ ）


A.在$(-\infty, -2)$上单调递增

B.在$(1, +\infty)$上单调递减
C.在$(-\infty, 3)$上单调递增
D.在$(3, +\infty)$上单调递减

答案： 1.D 解析：由题图可知，当$x ＜ -2$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$单调递减；当$-2 ＜ x ＜ 3$时，$f^{\prime}(x) \geq 0$且不恒为$0$，$f(x)$单调递增；当$x ＞ 3$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$单调递减。故选D。
方法总结：解决导数的图象问题，若掌握以下两个常用结论，则能事半功倍。
结论一：正则增，增则正。导数在$x$轴上方的图象所对应的区间为原函数的单调递增区间；反之，若原函数在某个区间上单调递增，则在该区间内导数的图象在$x$轴上方(可与$x$轴有有限个公共点)。
结论二：负则减，减则负。导数在$x$轴下方的图象所对应的区间为原函数的单调递减区间；反之，若原函数在某个区间上单调递减，则在该区间内导数的图象在$x$轴下方(可与$x$轴有有限个公共点)。

2. 设$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，将$y = f(x)$的图象和$y = f'(x)$的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是(D)

答案： 2.D 解析：根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在$x$轴上方，而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在$x$轴下方可知D不符合。

3. 已知定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)$的导函数图象如图，则以下函数值的大小关系中，一定正确的是(D)


A.$f(a) ＞ f(b) ＞ f(0)$
B.$f(0) ＜ f(c) ＜ f(d)$
C.$f(b) ＜ f(0) ＜ f(c)$
D.$f(c) ＜ f(d) ＜ f(e)$

答案： 3.D 解析：由$f(x)$的导函数图象可知，$f(x)$在$(a,b)$，$(c,e)$上单调递增，在$(b,c)$上单调递减，所以$f(a) ＜ f(b)$，A错误；$f(b) ＞ f(0) ＞ f(c)$，B、C错误；$f(c) ＜ f(d) ＜ f(e)$，D正确。

4. [多选题]下列函数中，既是奇函数又在区间$(0,1)$上单调递增的是(ABD)

A.$y = 2x^{3} + 4x$
B.$y = x + \sin(-x)$
C.$y = \log_{2}|x|$
D.$y = 2^{x} - 2^{-x}$

答案： 4.ABD 解析：由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，$y^{\prime}=6x^{2}+4 ＞ 0$，所以$y = 2x^{3}+4x$在$(0,1)$上单调递增；对于选项B，$y^{\prime}=1 - \cos(-x) \geq 0$，且$y^{\prime}$不恒为$0$，所以$y = x + \sin(-x)$在$(0,1)$上单调递增；对于选项D，$y^{\prime}=2^{x}\ln2 + 2^{-x}\ln2 ＞ 0$，所以$y = 2^{x}-2^{-x}$在$(0,1)$上单调递增。故选ABD。

5. [西安中学高二期末]函数$f(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \ln x$的单调递减区间为(C)

A.$(-1,1)$
B.$(-\infty, 1)$
C.$(0,1)$
D.$(1, +\infty)$

答案： 5.C 解析：由题意知，函数$f(x)$的定义域是$(0, +\infty)$，且$f^{\prime}(x)=x - \frac{1}{x}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$，所以当$0 ＜ x ＜ 1$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$；当$x ＞ 1$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，所以其单调递减区间是$(0,1)$。

6. [多选题]下列函数是增函数的有(ABD)

A.$y = x^{3} + x$
B.$y = \sqrt{x} + \log_{2}x$
C.$y = x\ln x$
D.$y = \ln(x - 1) + (x - 1)^{2}$

答案： 6.ABD 解析：对于A，$y = x^{3}+x$的定义域为$\mathbf{R}$，且$y^{\prime}=3x^{2}+1 \geq 1$，故该函数在其定义域内是增函数，故A符合题意；对于B，$y = \sqrt{x}+\log_{2}x$的定义域为$(0, +\infty)$，且$y^{\prime}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{x\ln2} ＞ 0$，故该函数在其定义域内是增函数，故B符合题意；对于C，$y = x\ln x$的定义域为$(0, +\infty)$，且$y^{\prime}=\ln x + 1$，当$0 ＜ x ＜ \frac{1}{e}$时，$y^{\prime}＜ 0$，当$x ＞ \frac{1}{e}$时，$y^{\prime}＞ 0$，所以该函数在$(0,\frac{1}{e})$上单调递减，在$(\frac{1}{e}, +\infty)$上单调递增，故该函数不是增函数，故C不符合题意；对于D，$y = \ln(x - 1)+(x - 1)^{2}$的定义域为$(1, +\infty)$，且$y^{\prime}=\frac{1}{x - 1}+2(x - 1) ＞ 0$，所以该函数在其定义域内是增函数，故D符合题意。

7. [多选题] [2023青岛高二期末]已知函数$f(x) = e^{x} - \cos^{2}x$，则下列结论正确的有(ACD)

A.$f(x)$在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上单调递增
B.$f(x)$在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上单调递减
C.$\forall x \geq 0, f(x) \geq 0$
D.$\exists x_{0} ＜ 0, f(x_{0}) ＜ 0$

答案： 7.ACD 解析：$f^{\prime}(x)=e^{x}+2\cos x·\sin x = e^{x}+\sin2x$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$\sin2x ＞ 0$，$e^{x} ＞ 0$，$\therefore f^{\prime}(x) ＞ 0$，$\therefore f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增，故A正确，B错误；$\therefore$当$x\in[0,\frac{\pi}{2})$时，$f(x)\geq f(0)=0$①；当$x\geq\frac{\pi}{2}$时，$f(x)=e^{x}-\cos^{2}x - 1 ＞ e - 1$恒成立②，由①②得$\forall x\geq0$，$f(x)\geq0$，故C正确。当$x = -\pi$时，$e^{-\pi}-\cos^{2}\pi ＜ 0$，故D正确。
利用导数判断函数$y = f(x)$的单调性步骤：第1步确定函数的定义域；第2步求出导数$f^{\prime}(x)$的零点；第3步用$f^{\prime}(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间，确定$f^{\prime}(x)$在各区间上的正负，由此得出函数$y = f(x)$在定义域内的单调性。【注意】也可通过：求函数定义域$\to$解不等式$f^{\prime}(x)＞0(＜0)\to$下结论，这三个步骤求解。

8. [2024贵阳高二期末]已知函数$f(x) = (2 - a)x - \ln x - 1$. 当$a ＞ 0$时，设$g(x) = f(x) + ax^{2}$，求函数$g(x)$的单调区间.

答案： 8.解：$g(x)=ax^{2}+(2 - a)x - \ln x - 1$，其定义域为$(0, +\infty)$，$\therefore g^{\prime}(x)=2ax + 2 - a - \frac{1}{x}=\frac{2ax^{2}+(2 - a)x - 1}{x}=\frac{(2x - 1)(ax + 1)}{x}$。$\because a ＞ 0$，$\therefore ax + 1 ＞ 0$，$\therefore$当$x\in[\frac{1}{2}, +\infty)$时，$g^{\prime}(x) ＞ 0$；当$x\in(0,\frac{1}{2})$时，$g^{\prime}(x) ＜ 0$，$\therefore g(x)$的单调递增区间为$[\frac{1}{2}, +\infty)$，单调递减区间为$(0,\frac{1}{2})$。